Ortskurve (Kurvendiskussion)

Als Ortskurve bezeichnet man eine Kurve, auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen. In einer Kurvendiskussion werden häufig die Ortskurven von Extrempunkten oder Wendepunkten der Graphen einer Funktionenschar gesucht.

Berechnung

Zur Berechnung der Ortskurve werden zunächst die Koordinaten der betreffenden Punkte (z. B. aller Tiefpunkte einer Funktionenschar) in Abhängigkeit des jeweiligen Parameters (z. B. a) bestimmt. Anschließend wird die Gleichung für die x-Koordinate nach dem Parameter aufgelöst und in die Gleichung für die y-Koordinate eingesetzt, was zur Elimination des Parameters führt: übrig bleibt die Gleichung der Ortskurve.

Beispiele

Extrempunkte einer Kurvenschar

Die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) der durch f_a(x) = x³ − 3a²x gegebenen Funktionenschar haben die Koordinaten $x = \pm a$ und $y = \mp 2a^3$ (mit $a \ne 0$). Die Kurve mit der Gleichung y = − 2x³ ist die Ortskurve aller Extrempunkte, da alle Extrempunkte der einzelnen Funktionsgraphen auf dieser Kurve liegen.

Wendepunkte einer Kurvenschar

Wenn man z. B. die Ortskurve für alle Wendepunkte der Funktionenschar

$\ f_\mathrm{t}(x)=tx^4-4t^2x^2$ mit $\ t>0$

bestimmen möchte, geht man folgendermaßen vor:

1. Wendepunkte bestimmen:

   $W_\mathrm{1} = \left(+{\sqrt{\tfrac{2t}{3}}} | -\tfrac{20t^3}{9} \right)$ und $W_\mathrm{2} = \left(-{\sqrt{\tfrac{2t}{3}}} | -\tfrac{20t^3}{9} \right)$

2. Da der Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann man mit einem einzigen Wendepunkt weiterarbeiten.
3. x- und y-Koordinate in Gleichungen schreiben:

   $x=\sqrt{\tfrac{2t}{3}}$ und $y=-\tfrac{20t^3}{9}$

4. x-Gleichung nach Parameter t auflösen:

   $t=\tfrac{3x^2}{2}$

5. Gleichung von t in y-Gleichung einsetzen:

   $\ y={-7{,}5x^6}$

Die Ortskurve für alle Wendepunkte der Funktionen $\ f_\mathrm{t}$ hat also die Gleichung $\ o_\mathrm{w}(x)={-7{,}5x^6}\,\,;x\neq0$.

Siehe auch

• Geometrischer Ort
• Hodograph

Weblinks

• Erklärung der Ortskurve zur schulischen Anwendung