Pépin-Test

Der Pépin-Test ist ein Primzahltest für Fermat-Zahlen. Er prüft, ob natürliche Zahlen der Form

$F_k:=2^{2^k}+1$

prim sind oder nicht. Grundlage für den Pépin-Test sind Arbeiten von Théophile Pépin (1826 – 1904), François Proth (1852 – 1879) und Édouard Lucas.

Funktionsweise

Der Test beruht auf folgendem Satz:

F_k ist für k ≥ 1 genau dann eine Primzahl, wenn die Kongruenz

$3^{(F_k-1)/2} \equiv -1 \mod F_k$

erfüllt ist.^[1]

Da F₀ = 3 ist, gilt der Satz nicht für k = 0. Für k = 1 ist F_k = 5 und es gilt 3² = 9 ≡ −1 mod 5. Zur Berechnung für größere k verwendet man den modulo-Befehl schon in den Zwischenschritten, wie im untenstehenden Beispiel illustriert wird.

Beweis des Satzes

„$\Rightarrow$“: Ist für ein k ≥ 1 die Fermat-Zahl F_k prim, so gilt nach dem Eulerschen Kriterium für das Legendre-Symbol die Kongruenz

$3^{(F_k -1)/2} \equiv \left(\frac{3}{F_k}\right) \mod F_k$ .

Aufgrund des quadratischen Reziprozitätsgesetzes gilt

$\left(\frac{3}{F_k}\right) = \left(\frac{F_k}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right) = -1$ .

Hierbei werden die Kongruenzen F_k ≡ 1 mod 4 und F_k ≡ 2 mod 3 (mit Induktion zu zeigen) benutzt. Damit ist der Beweis in einer Richtung erbracht.

„$\Leftarrow$“: Nehmen wir umgekehrt an, dass

$3^{(F_k-1)/2} \equiv -1 \mod F_k$

gilt, so folgt durch Quadrieren

$3^{F_k-1} \equiv 1 \mod F_k$ .

Nach dem verbesserten Lucas-Test folgt, dass F_k prim ist.

Die Anwendung des verbesserten Lucas-Tests ist in diesem Fall besonders einfach, da F_k – 1 nur einen Primteiler, nämlich die 2, hat.

Beispiel

Als Beispiel zeigen wir mit Hilfe des Pépin-Tests, dass F₃ = 2⁸ + 1 = 257 eine Primzahl ist. Wir berechnen 3¹²⁸ mod 257 schrittweise und erhalten 3¹²⁸ ≡ −1 mod 257:

3⁸ = 6561 ≡ –121 mod 257,
→ 3¹⁶ ≡ (–121)² ≡ –8 mod 257,
→ 3³² ≡ (–8)² = 64 mod 257,
→ 3⁶⁴ ≡ 64² ≡ –16 mod 257,
→ 3¹²⁸ ≡ (–16)² = 256 ≡ –1 mod 257.

Literatur

• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen, Springer Verlag, 1996, S. 71/72
• T. Pépin, Sur la formule $2^{2^n}+1$, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 85, 329 – 333, 1877

Einzelnachweise

1. ↑ Historische Anmerkungen sind enthalten in John H. Jaroma: Equivalence of Pepin’s and the Lucas-Lehmer Tests, European J. of pure and applied mathematics 2, 352 - 360, 2009. Statt der Basis 3 kann man auch andere Basen verwenden, z. B. 5 und 10.