Lucas-Test (Mathematik)

Der Lucas-Test ist eine Weiterentwicklung des Fermatschen Primzahltests durch den Mathematiker Édouard Lucas. Der Test wurde in den 50er Jahren von Derrick Lehmer und später nochmals von John Brillhart und John L. Selfridge verbessert. Er sollte nicht mit dem Lucas-Lehmer-Test für Mersenne-Zahlen verwechselt werden.

Fermatscher Primzahltest

Gegeben sei eine natürliche Zahl n > 1, für die man prüfen möchte, ob sie prim ist. Nach dem fermatschen Primzahltest ist n keine Primzahl, wenn folgende Bedingung für eine zu n teilerfremde Zahl a mit 1 < a < n zutrifft:

$a^{n-1} \not\equiv 1 \pmod n$

Der Fermat-Test liefert also niemals die Aussage, dass eine Zahl prim ist, sondern kann nur das Prim-Sein ausschließen. Für die Carmichael-Zahlen liefert der Fermat-Test keine Aussage.

Lucas-Test

Im Jahr 1876 gewann Édouard Lucas folgende Umkehrung des kleinen fermatschen Satzes:

(Vorläufer des Lucas-Tests) Eine natürliche Zahl n ist genau dann eine Primzahl, wenn es ein a mit 1 < a < n gibt, für das

$a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$

sowie

$a^m \not\equiv 1 \pmod n$

für alle natürlichen Zahlen m < n - 1 gilt.

Dieses Ergebnis lässt sich nur schwer anwenden, da so viele m geprüft werden müssen. Im Jahr 1891 verbesserte Lucas den Satz und erhielt den nach ihm benannten Primzahltest:

(Lucas-Test) Eine natürliche Zahl n ist genau dann eine Primzahl, wenn es ein a mit 1 < a < n gibt, für das

$a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$

sowie

$a^m \not\equiv 1 \pmod n$

für alle echten Teiler m < n - 1 von n - 1 gilt.^[1]

Da hier nur noch die Teiler von n - 1 getestet werden müssen, sind erheblich weniger Rechenschritte nötig. Ein Nachteil ist jedoch, dass man die Primfaktorzerlegung von n - 1 kennen muss. n - 1 muss also faktorisiert werden. Für Zahlen mit einem besonderen Aufbau ist diese Methode aber sehr effizient, so zum Beispiel bei Zahlen der Form 2^k+1.

Ist die Bedingung des Lucas-Tests für eine Basis a nicht erfüllt, so folgt nicht, dass die Zahl n zusammengesetzt ist. Dafür müsste man nämlich alle Basen 1 < a < n prüfen.

Beispiel:

Für die Zahl n = 59 gilt 2⁵⁸ ≡ 1 mod 59. Die echten Teiler von n - 1 = 58 sind 1, 2 und 29. Weiter gilt 2¹ ≡ 2 mod 59, 2² ≡ 4 mod 59 und 2²⁹ ≡ -1 mod 59. Es folgt, dass 59 eine Primzahl ist.

Erweiterungen von Lehmer, Brillhart und Selfridge

Derrick Lehmer fand 1953 den verbesserten Lucas-Test. Im Jahr 1967 wurde eine weitere Version (flexibler Lucas-Test) von John Brillhart und John L. Selfridge entdeckt.

Verbesserter Lucas-Test

Der verbesserte Lucas-Test beruht auf folgender Eigenschaft:
n ist genau dann eine Primzahl, wenn es eine natürliche Zahl a mit 1 < a < n gibt, für die

$a^{n-1}\equiv 1 \pmod n$

sowie

$a^{\frac{n-1}{q_i}} \not\equiv 1 \pmod n$

für alle Primfaktoren q_i von n - 1 gilt.

Die Anwendung dieses Tests auf Fermat-Zahlen wird mit Pépin-Test bezeichnet.

Flexibler Lucas-Test

Der flexible Lucas-Test beruht auf folgender Eigenschaft:
Für die natürliche Zahl n sei die Primfaktorzerlegung von n - 1 gegeben durch

$n-1=q_1^{e_1} \cdot \ldots \cdot q_r^{e_r}$.

Dann gilt: n ist genau dann eine Primzahl, wenn es zu jedem Primfaktor q_i eine natürliche Zahl a_i mit 1 < a_i < n gibt, für die

$a_i^{n-1} \equiv 1 \pmod n$

sowie

$a_i^{\frac{n-1}{q_i}} \not\equiv 1 \pmod n$

gilt.^[2]

Beispiel

Wir betrachten die Primzahl n=911. Die Vorgängerzahl n-1=910 hat die Primteiler q = 2, 5, 7 und 13. Die folgende Tabelle zeigt dazu passende a und wie die Bedingungen erfüllt werden:

q	a	an-1 ≡ 1 (mod n)	a(n-1)/q ≢ 1 (mod n)
2	7	7910 ≡ 1 (mod 911)	7910/2 ≡ -1 (mod 911)
5	3	3910 ≡ 1 (mod 911)	3910/5 ≡ 482 (mod 911)
7	2	2910 ≡ 1 (mod 911)	2910/7 ≡ 568 (mod 911)
13	2	2910 ≡ 1 (mod 911)	2910/13 ≡ 577 (mod 911)

Literatur

• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-34283-4 (Springer-Lehrbuch).
• John Brillhart, D. H. Lehmer, J. L. Selfridge: New Primality Criteria and factorizations of $2^n \pm 1$. In: Mathematics of Computation. 29, 1975, ISSN 0025-5718, S. 620–647, online (PDF; 2,14 MB).

Einzelnachweise

1. ↑ Beweise hierzu: siehe Ribenboim, Die Welt der Primzahlen, Seite 40.
2. ↑ Zum Beweis dieses und des vorigen Satzes siehe Ribenboim, Die Welt der Primzahlen, Seite 42.