Quasikonvexe Funktion

Eine quasikonvexe Funktion, die nicht konvex ist.

Eine Funktion, die nicht quasikonvex ist: Die Menge der Punkte, für die die Funktionswerte unterhalb der gestrichelten roten Linie liegen, ist die Vereinigung von zwei getrennten Intervallen und daher nicht konvex.

Eine quasikonvexe Funktion ist eine reellwertige Funktion, die auf einer konvexen Teilmenge eines reellen Vektorraums definiert ist, wenn alle Mengen der Gestalt

$M_{\alpha}=\{x|f(x)\le \alpha\}$,

also alle Urbilder der Mengen $(-\infty,\alpha)$ konvex sind. Der Begriff der quasikonvexen Funktionen ist daher eine Verallgemeinerung des Begriffs konvexe Funktion; er ist von Bedeutung bei verschiedenen Anwendungen in der Wirtschaftstheorie. Optimierungsmethoden, die auf die Klasse der quasikonvexen Funktionen zugeschnitten sind, gehören zur Quasikonvexen Optimierung und sind Verallgemeinerungen der Konvexen Optimierung.

Definition und Eigenschaften

Äquivalent kann man definieren: Eine Funktion $f:S \to \mathbb{R}$, die auf einer konvexen Teilmenge S eines reellen Vektorraums definiert ist, heißt quasikonvex, wenn aus $x,y \in S$ und $\lambda \in [0,1]$ folgt, dass

$f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\leq\max\big(f(x),f(y)\big).$

Wenn stattdessen

$f(\lambda x + (1 - \lambda)y)<\max\big(f(x),f(y)\big)$

für alle $x \neq y$ und $\lambda \in (0,1)$ gilt, dann heißt f strikt quasikonvex.

Quasikonkave Funktion

Eine quasikonkave Funktion ist eine Funktion f, deren Negatives -f quasikonvex ist, und eine strikt quasikonkave Funktion ist eine Funktion f, für die -f strikt quasikonvex ist. Quasikonkave Funktionen kann man auch durch die Ungleichung

$f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\geq\min\big(f(x),f(y)\big).$

für alle $x,y \in S$ und $\lambda \in [0,1]$ definieren, und strikte Quasikonkavität durch

$f(\lambda x + (1 - \lambda)y)>\min\big(f(x),f(y)\big)$

für alle $x \neq y$ und $\lambda \in (0,1)$.

Der Graph einer quasikonkaven Funktion.

Bei einer (strikt) quasikonkaven Funktion sind die Mengen

$N_{\alpha}=\{x|f(x)\ge \alpha\}$

(strikt) konvex.

Beispiele

Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion

• Jede konvexe Funktion ist quasikonvex.
• Jede monotone Funktion ist sowohl quasikonvex als auch quasikonkav.
• Jede Funktion, die bis zu einem gewissen Punkt monoton steigt und von dem Punkt an monoton fällt, ist quasikonkav.
• Die Abrundungsfunktion $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ ist das Beispiel einer quasikonvexen Funktion, die weder konvex noch stetig ist.

Anwendungen in der Wirtschaftstheorie

1. In der Theorie des Haushaltsoptimums treten quasikonkave Nutzenfunktionen auf.
2. In der Theorie des Nash-Gleichgewichtes betrachtet man quasikonkave Auszahlungsfunktionen.

Quellen

• Avriel, M., Diewert, W.E., Schaible, S. and Zang, I., Generalized Concavity, Plenum Press, 1988.

Weblinks

• SION, M., "On general minimax theorems", Pacific J. Math. 8 (1958), 171-176.
• Mathematical programming glossary
• Concave and Quasi-Concave Functions - by Charles Wilson, NYU Department of Economics
• Quasiconcave - From Econterms, for About.com
• Quasiconcavity and quasiconvexity - by Martin J. Osborne, University of Toronto Department of Economics
• Anatomy of Cobb-Douglas Type Utility Functions in 3D - several examples of quasiconcave utility functions