Satz von Schur-Zassenhaus

Der Satz von Schur-Zassenhaus ist ein mathematischer Satz in der Gruppentheorie. Der nach Issai Schur und Hans Julius Zassenhaus benannte Satz lautet^[1]:

• Für eine endliche Gruppe G und einen Normalteiler $N \triangleleft G$ mit $\operatorname{ggT}(|N|, [G:N])= 1$ existiert eine Untergruppe $U \leq G$ mit $G \,=\, NU$ und $N \cap U \,=\, 1$. G ist also das semidirekte Produkt $G = N \times_\theta U$ aus N und U.

Die Untergruppe U in obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, aber man kann zeigen, dass je zwei solcher Untergruppen konjugiert sind.

Beispiele

• Die zyklische Gruppe $G=\Z/6\Z = \{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{5}\}$ hat den Normalteiler $N=\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}$. Da die Zahlen | N | = 3 und [G:N] = 2 teilerfremd sind, kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden. $U=\{\overline{0},\overline{3}\}$ ist offenbar die einzige Untergruppe, die die Aussage des Satzes erfüllt. Da semidirekte Produkt ist in diesem Fall sogar direkt.

• Die symmetrische Gruppe G = S₃ = {e,d,d²,s₁,s₂,s₃} hat den Normalteiler N = {e,d,d²}. Wegen | N | = 3 und [G:N] = 2 kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden, offenbar erfüllen die drei Untergruppen $U_i=\{e,s_i\},\,i=1,2,3$ die Aussage des Satzes.

• Die zyklische Gruppe $G=\Z/4\Z = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$ hat den Normalteiler $N=\{\overline{0},\overline{2}\}$. Hier sind | N | = 2 und [G:N] = 2 nicht teilerfremd, weshalb der Satz nicht anwendbar ist. Tatsächlich gibt es keine Untergruppe $U\subset G$, die die Aussage des Satzes erfüllt, denn eine solche müsste ein Element der Ordnung 2 haben, aber das einzige Element der Ordnung 2 ist $\overline{2}$ und das liegt bereits in N. Dieses Beispiel zeigt, dass auf die Teilerfremdheit von | N | und [G:N] in obigem Satz nicht verzichtet werden kann.

• Ist N irgendeine Gruppe, so zeigt das Beispiel $G=N \times N$, dass die Teilerfremdheitsbedingung nicht notwendig ist für das Bestehen einer Darstellung als semidirektes, ja sogar direktes, Produkt.

Einzelnachweise

1. ↑ Rowen B. Bell, J. L. Alperin: Groups and Representations, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Band 162, ISBN 0-387-94526-1 (Kapitel 9: The Schur-Zassenhaus-Theorem)

Quellen

• Andreas Nickel: Basiswissen Algebra, Universität Regensburg, S. 6