S3 (Gruppe)

S₃ bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie eine bestimmte symmetrische Gruppe mit 6 Elementen. Alternative Bezeichnungen sind $\mathfrak{S}_3$, Sym₃ oder D₃ (Diedergruppe). Geometrisch entsteht die S₃ als Gruppe der Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich.

Einführung

Die Wirkungen der Abbildungen d, d²,s₁,s₂ und s₃

Betrachtet man die Kongruenzabbildungen, die ein gleichseitiges Dreieck in sich selbst überführen, so findet man 6 Möglichkeiten^[1]:

• die identische Abbildung e,
• die Drehung d um 120° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
• die Drehung d² um 240° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
• drei Spiegelungen s₁,s₂ und s₃ an den drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.

Diese Kongruenzabbildungen lassen sich durch Hintereinanderausführung kombinieren, wodurch man wieder eine Kongruenzabbildung erhält. Man schreibt einfach zwei Kongruenzabbildungen (oft ohne Verknüpfungszeichen, oder mit $\cdot$ oder $\circ$) nebeneinander und meint damit, dass zuerst die rechtsstehende und dann die linksstehende Kongruenzabbildung auszuführen ist. Die Schreibweise d² macht bereits deutlich, dass die Drehung um 240° gleich der zweifachen Hintereinanderausführung der Drehung um 120° ist.

Man erhält auf diese Weise die sechselementige Gruppe $S_3 = \left\{e, d, d^2, s_1, s_2, s_3\right\}$ aller Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich. Trägt man alle so gebildeten Verknüpfungen in eine Verknüpfungstafel ein, so erhält man

$\cdot$	e	d	d2	s1	s2	s3
e	e	d	d2	s1	s2	s3
d	d	d2	e	s3	s1	s2
d2	d2	e	d	s2	s3	s1
s1	s1	s2	s3	e	d	d2
s2	s2	s3	s1	d2	e	d
s3	s3	s1	s2	d	d2	e

Will man das Produkt ab für zwei Elemente a,b aus S₃ ausrechnen, so suche man in der Verknüpfungstafel die mit a gekennzeichnete Zeile und mit b gekennzeichnete Spalte auf; am Schnittpunkt aus dieser Zeile und dieser Spalte steht das Produkt.

Verallgemeinert man diese Konstruktion, indem man das gleichseitige Dreieck durch ein regelmäßiges n-Eck ersetzt, so kommt man zum Begriff der Diedergruppe. Daher wird die hier besprochene Gruppe S₃ auch mit D₃ bezeichnet.

Elemente der S₃ als Permutationen

Eine Kongruenzabbildung des gleichseitigen Dreiecks ist bereits dadurch eindeutig festgelegt, wie die mit 1, 2 und 3 bezeichneten Ecken aufeinander abgebildet werden. Jedes Element der S₃ kann daher als Permutation der Menge {1,2,3} aufgefasst werden. Sie sehen im Folgenden zuerst die Matrixschreibweise und dahinter die Zykeldarstellung^[2] der Elemente sowie deren Ordnungen:

$\begin{array}{rccclc} e &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}&=& (1)&\mathrm{ord}\left(e\right)=1\\ \\ d &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}&=&(1~2~3)&\mathrm{ord}\left(d\right)=3\\ \\ d^2 &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}&=&(1~3~2)&\mathrm{ord}\left(d^2\right)=3\\ \\ s_1 &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}&=&(2~3)&\mathrm{ord}\left(s_1\right)=2\\ \\ s_2 &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}&=&(1~3)&\mathrm{ord}\left(s_2\right)=2\\ \\ s_3 &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}&=&(1~2)&\mathrm{ord}\left(s_3\right)=2 \end{array}$

Eigenschaften

Keine abelsche Gruppe

Die Gruppe S₃ ist keine abelsche Gruppe, wie obiger Verknüpfungstafel entnommen werden kann; beispielsweise gilt $ds_1=s_3\neq s_2=s_1d$. Sie ist bis auf Isomorphie die kleinste nicht-abelsche Gruppe, das heißt, jede nicht-abelsche Gruppe ist entweder isomorph zu S₃ oder hat mehr Elemente.

Untergruppen und Normalteiler

Die Untergruppen neben den trivialen Untergruppen {e} und S₃ selbst sind:

• $A_3 := \left\{e, d, d^2\right\}\cong\Z/3\Z$. Diese Untergruppe ist ein Normalteiler und wird auch als alternierende Gruppe vom Grad 3 bezeichnet.
• $\{e, s_1\}\cong\{e, s_2\}\cong\{e, s_3\}\cong\Z/2\Z$. Diese Untergruppen sind keine Normalteiler; beispielsweise ist $d \{e, s_1\} d^{-1} \,=\, d \{e, s_1\} d^2 \,=\, \{e, s_2\}$.

Erzeuger und Relationen

Man kann Gruppen auch dadurch beschreiben, dass man ein Erzeugendensystem und Relationen, die die Erzeuger erfüllen müssen, angibt. Erzeuger und Relationen notiert man, durch das Zeichen | getrennt, in spitzen Klammern. Die Gruppe ist dann die von den Erzeugern erzeugte freie Gruppe modulo dem von den Relationen erzeugten Normalteiler. In diesem Sinne ist^[3]:

$S_3 = \langle d, s \mid d^3, s^2, dsds \rangle$

Irreduzible Darstellungen

Bis auf Äquivalenz hat die S₃ drei irreduzible Darstellungen, zwei eindimensionale und eine zweidimensionale^[4]. Zur Angabe dieser Darstellungen genügt es, die Bilder von d und s₁ anzugeben, denn diese Elemente erzeugen die Gruppe.

• Die triviale Darstellung: $S_3\rightarrow \C:\,\, d\mapsto 1, s_1\mapsto 1$
• Die Signum-Abbildung: $S_3\rightarrow \C:\,\, d\mapsto 1, s_1\mapsto -1$
• Die zweidimensionale Darstellung: $S_3\rightarrow M_2(\C):\,\, d\mapsto \begin{pmatrix} e^{2\pi i/3} & 0 \\ 0 & e^{-2\pi i/3} \end{pmatrix}, s_1\mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Zwar erhält man eine andere zweidimensionale Darstellung, wenn man s₁ durch s₂ ersetzt, aber diese ist äquivalent zur angegebenen.

Siehe auch

• Liste kleiner Gruppen

Einzelnachweise

1. ↑ Arno Mitschka: Elemente der Gruppentheorie, Studienbücher Mathematik (1975), ISBN 3-451-16528-7, Abschnitt II.5
2. ↑ K. Meyberg: Algebra, Teil I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.4.2.c
3. ↑ K. Meyberg: Algebra, Teil I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.7.18.c
4. ↑ J. P. Serre: Darstellungen endlicher Gruppen, Vieweg (1972), ISBN 3-528-03556-0, §5.3

Weblinks

• Applet der TU München zur Visualisierung von S₃