S3 (Gruppe)

S3 (Gruppe)

S3 bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie eine bestimmte symmetrische Gruppe mit 6 Elementen. Alternative Bezeichnungen sind \mathfrak{S}_3, Sym3 oder D3 (Diedergruppe). Geometrisch entsteht die S3 als Gruppe der Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich.

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Die Wirkungen der Abbildungen d, d2,s1,s2 und s3

Betrachtet man die Kongruenzabbildungen, die ein gleichseitiges Dreieck in sich selbst überführen, so findet man 6 Möglichkeiten[1]:

  • die identische Abbildung e,
  • die Drehung d um 120° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
  • die Drehung d2 um 240° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
  • drei Spiegelungen s1,s2 und s3 an den drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.

Diese Kongruenzabbildungen lassen sich durch Hintereinanderausführung kombinieren, wodurch man wieder eine Kongruenzabbildung erhält. Man schreibt einfach zwei Kongruenzabbildungen (oft ohne Verknüpfungszeichen, oder mit \cdot oder \circ) nebeneinander und meint damit, dass zuerst die rechtsstehende und dann die linksstehende Kongruenzabbildung auszuführen ist. Die Schreibweise d2 macht bereits deutlich, dass die Drehung um 240° gleich der zweifachen Hintereinanderausführung der Drehung um 120° ist.

Man erhält auf diese Weise die sechselementige Gruppe S_3 = \left\{e, d, d^2, s_1, s_2, s_3\right\} aller Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich. Trägt man alle so gebildeten Verknüpfungen in eine Verknüpfungstafel ein, so erhält man

\cdot e d d2 s1 s2 s3
e e d d2 s1 s2 s3
d d d2 e s3 s1 s2
d2 d2 e d s2 s3 s1
s1 s1 s2 s3 e d d2
s2 s2 s3 s1 d2 e d
s3 s3 s1 s2 d d2 e

Will man das Produkt ab für zwei Elemente a,b aus S3 ausrechnen, so suche man in der Verknüpfungstafel die mit a gekennzeichnete Zeile und mit b gekennzeichnete Spalte auf; am Schnittpunkt aus dieser Zeile und dieser Spalte steht das Produkt.

Verallgemeinert man diese Konstruktion, indem man das gleichseitige Dreieck durch ein regelmäßiges n-Eck ersetzt, so kommt man zum Begriff der Diedergruppe. Daher wird die hier besprochene Gruppe S3 auch mit D3 bezeichnet.

Elemente der S3 als Permutationen

Eine Kongruenzabbildung des gleichseitigen Dreiecks ist bereits dadurch eindeutig festgelegt, wie die mit 1, 2 und 3 bezeichneten Ecken aufeinander abgebildet werden. Jedes Element der S3 kann daher als Permutation der Menge {1,2,3} aufgefasst werden. Sie sehen im Folgenden zuerst die Matrixschreibweise und dahinter die Zykeldarstellung[2] der Elemente sowie deren Ordnungen:


  \begin{array}{rccclc}
     e &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}&=& (1)&\mathrm{ord}\left(e\right)=1\\ \\
    d &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}&=&(1~2~3)&\mathrm{ord}\left(d\right)=3\\ \\
    d^2 &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}&=&(1~3~2)&\mathrm{ord}\left(d^2\right)=3\\ \\
    s_1 &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}&=&(2~3)&\mathrm{ord}\left(s_1\right)=2\\ \\
    s_2 &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}&=&(1~3)&\mathrm{ord}\left(s_2\right)=2\\ \\
    s_3 &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}&=&(1~2)&\mathrm{ord}\left(s_3\right)=2
  \end{array}

Eigenschaften

Keine abelsche Gruppe

Die Gruppe S3 ist keine abelsche Gruppe, wie obiger Verknüpfungstafel entnommen werden kann; beispielsweise gilt ds_1=s_3\neq s_2=s_1d. Sie ist bis auf Isomorphie die kleinste nicht-abelsche Gruppe, das heißt, jede nicht-abelsche Gruppe ist entweder isomorph zu S3 oder hat mehr Elemente.

Untergruppen und Normalteiler

Die Untergruppen neben den trivialen Untergruppen {e} und S3 selbst sind:

  • A_3 := \left\{e, d, d^2\right\}\cong\Z/3\Z . Diese Untergruppe ist ein Normalteiler und wird auch als alternierende Gruppe vom Grad 3 bezeichnet.
  • \{e, s_1\}\cong\{e, s_2\}\cong\{e, s_3\}\cong\Z/2\Z. Diese Untergruppen sind keine Normalteiler; beispielsweise ist d \{e, s_1\} d^{-1} \,=\, d \{e, s_1\} d^2 \,=\, \{e, s_2\}.

Erzeuger und Relationen

Man kann Gruppen auch dadurch beschreiben, dass man ein Erzeugendensystem und Relationen, die die Erzeuger erfüllen müssen, angibt. Erzeuger und Relationen notiert man, durch das Zeichen | getrennt, in spitzen Klammern. Die Gruppe ist dann die von den Erzeugern erzeugte freie Gruppe modulo dem von den Relationen erzeugten Normalteiler. In diesem Sinne ist[3]:

S_3 = \langle d, s \mid d^3, s^2, dsds \rangle

Irreduzible Darstellungen

Bis auf Äquivalenz hat die S3 drei irreduzible Darstellungen, zwei eindimensionale und eine zweidimensionale[4]. Zur Angabe dieser Darstellungen genügt es, die Bilder von d und s1 anzugeben, denn diese Elemente erzeugen die Gruppe.

  • Die triviale Darstellung: S_3\rightarrow \C:\,\, d\mapsto 1, s_1\mapsto 1
  • Die Signum-Abbildung: S_3\rightarrow \C:\,\, d\mapsto 1, s_1\mapsto -1
  • Die zweidimensionale Darstellung: S_3\rightarrow M_2(\C):\,\, d\mapsto \begin{pmatrix} e^{2\pi i/3} & 0 \\ 0 & e^{-2\pi i/3} \end{pmatrix}, s_1\mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1  \\ 1 & 0  \end{pmatrix}.

Zwar erhält man eine andere zweidimensionale Darstellung, wenn man s1 durch s2 ersetzt, aber diese ist äquivalent zur angegebenen.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Arno Mitschka: Elemente der Gruppentheorie, Studienbücher Mathematik (1975), ISBN 3-451-16528-7, Abschnitt II.5
  2. K. Meyberg: Algebra, Teil I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.4.2.c
  3. K. Meyberg: Algebra, Teil I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.7.18.c
  4. J. P. Serre: Darstellungen endlicher Gruppen, Vieweg (1972), ISBN 3-528-03556-0, §5.3

Weblinks


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