Sorgenfrey-Ebene

Die Sorgenfrey-Ebene ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Definition

Ist R die Sorgenfrey-Gerade, so heißt das kartesische Produkt $R^2 = R\times R$ mit der Produkttopologie die Sorgenfrey-Ebene. Die Topologie der Sorgenfrey-Ebene wird demnach von der Menge aller halboffenen Rechtecke der Form $[a,b)\times [c,d)$ als Basis erzeugt.

Beispiele offener Mengen

Da die Mengen [a,b) in der Sorgenfrey-Geraden offen und abgeschlossen sind, gilt das auch für $[a,b)\times [c,d) \subset R^2$. Die Sorgenfrey-Ebene besitzt daher eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Rechteck $(a,b)\times(c,d)$ ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Ebene, denn

$(a,b)\times (c,d) = \bigcup_{n=1}^\infty[a+\frac{1}{n},b)\times [c+\frac{1}{n},d)$.

Eigenschaften

Die Sorgenfrey-Ebene R² hat folgende Eigenschaften:

• R² hat die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension 0.
• R² ist total unzusammenhängend.
• R² ist nicht diskret, denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Ebene ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf $\R^2$.
• R² ist separabel ($\Q^2$ liegt dicht, denn jede Basismenge enthält einen Punkt mit rationalen Koordinaten), genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (die Mengen $[a,a+\frac{1}{n})\times [b,b+\frac{1}{n})$ bilden eine Umgebungsbasis von $(a,b)\in R^2$) aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
• R² ist nicht metrisierbar, denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
• R² ist nicht normal (siehe unten)

Gegenbeispiele

Der Unterraum D trägt die diskrete Topologie.

Die Menge $D:=\{(x,-x); x\in R\}\subset R^2$ trägt als Teilraumtopologie die diskrete Topologie, denn für jeden Punkt $(x,-x)\in D$ gilt $\{(x,-x)\} = D\cap [x,x+1)\times [-x,-x+1)$, wie nebenstehende Zeichnung verdeutlicht.

Insbesondere ist D mit der Teilraumtopologie nicht separabel. Die Sorgenfrey-Ebene ist daher ein Beispiel dafür, dass sich Separabilität im Allgemeinen nicht auf Teilräume vererbt. Ein weiteres Beispiel für diesen Sachverhalt ist der Niemytzki-Raum.

D als Teilmenge von R² ist abgeschlossen, da D schon bezüglich der euklidischen Topologie abgeschlossen ist. Wegen der Diskretheit von D ist dann jede Teilmenge von D abgeschlossen in R². Setzt man $E:=\{(x,-x); x\in \Q\}\subset R^2$, so sind E und $D\setminus E$ zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen, die sich nicht durch offene Mengen trennen lassen. R² ist daher nicht normal. Da die Sorgenfrey-Gerade normal ist, zeigt die Sorgenfrey-Ebene, dass ein Produkt normaler Räume im Allgemeinen nicht normal ist.

Quellen

• Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (BI-Hochschultaschenbücher 121).
• Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1978, ISBN 0-387-90312-7.