Sorgenfrey-Gerade

Die Sorgenfrey-Gerade ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Definition

Die Sorgenfrey-Gerade R ist derjenige topologische Raum, der auf der Menge $\R$ von allen halboffenen Intervallen [a,b) als Basis erzeugt wird, das heißt die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle [a,b) darstellbaren Mengen.

Bemerkungen

• Ersetzt man die halboffenen Intervalle [a,b) durch (a,b], so kann man eine analoge Konstruktion durchführen. Man erhält einen zur Sorgenfrey-Geraden homöomorphen Raum, $x\mapsto -x$ ist offenbar ein Homöomorphismus.

• Das Produkt $R^2 = R\times R$ heißt Sorgenfrey-Ebene und ist ebenfalls ein wichtiges Beispiel in der Topologie.

Beispiele offener Mengen

Alle Mengen der Form

$(-\infty,a) = \bigcup_{n=0}^\infty[a-n-1,a-n)$

$[a,\infty) = \bigcup_{n=0}^\infty[a+n,a+n+1)$

sind offen. Daher sind die Mengen [a,b) nicht nur offen, sondern wegen $[a,b) = \R\setminus((-\infty,a)\cup[b,\infty))$ auch abgeschlossen, das heißt R besitzt eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Intervall (a,b) ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Geraden, denn

$(a,b) = \bigcup_{n=1}^\infty[a+\frac{1}{n},b)$.

Eigenschaften

Die Sorgenfrey-Gerade R hat folgende Eigenschaften:

• R ist ein perfekt normaler Raum.
• R hat die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension 0.
• R ist total unzusammenhängend.
• R ist nicht diskret, denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Geraden ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf $\R$.
• R ist separabel ($\Q$ liegt dicht, denn jede Basismenge enthält eine rationale Zahl), genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (die Mengen $[a,a+\frac{1}{n})$ bilden eine Umgebungsbasis von $a\in R$) aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
• R ist nicht metrisierbar, denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
• R ist parakompakt aber weder σ-kompakt noch lokalkompakt.

Quellen

• Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (BI-Hochschultaschenbücher 121).
• Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1978, ISBN 0-387-90312-7.