Suslin-Hypothese

In der Mengenlehre postuliert die Suslin-Hypothese (benannt nach dem russischen Mathematiker Michail Jakowlewitsch Suslin) eine spezielle Charakterisierung der Menge der reellen Zahlen. Sie ist in dem üblichen System der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre weder beweis- noch widerlegbar.

Motivation

Georg Cantor zeigte folgende ordnungstheoretische Charakterisierung der reellen Zahlen: Eine lineare Ordnung $\langle P,<\rangle$ ist genau dann isomorph zu $\langle\R,<\rangle$ falls gilt:

• P ist unbeschränkt: Für jedes $p\in P$ gibt es $q,r\in P$ sodaß q < p < r.
• P ist dicht: Für jedes Paar $p,q\in P$ mit p < q gibt es ein $r\in P$ sodass p < r < q.
• P ist vollständig: Jeder Dedekindscher Schnitt von P hat ein Supremum in P.
• P separabel: P enthält eine abzählbare, dichte Teilmenge.

Jede solche lineare Ordnung $\langle P,<\rangle$ erfüllt zudem die sogenannte abzählbare Antikettenbedingung:

• Jede Familie von offenen, paarweise disjunkten Intervallen von P ist höchstens abzählbar.

Der Beweis dieser zusätzlichen Eigenschaft folgt direkt der Separabilität. Suslin stellte 1920 die Hypothese auf, dass auch die Umkehrung gilt, also Separabilität und abzählbare Antikettenbedingung äquivalent sind^[1].

Formulierung und Konsequenzen

Die Suslin-Hypothese lässt sich also ausdrücken:

„Jede unbeschränkte, dichte, vollständige lineare Ordnung, die die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt, ist isomorph zu der Ordnung der reellen Zahlen.“

Ronald Jensen zeigte 1968, dass in dem Modell L der konstruktiblen Mengen die Suslin-Hypothese falsch ist^[2]. Mit Hilfe der Forcing-Methode konstruierten Robert M. Solovay und Stanley Tennenbaum 1971 ein Modell in dem die Hypothese wahr ist^[3], sie ist also weder beweis- noch widerlegbar.

Einzelnachweise

1. ↑ Michail J. Suslin: Problème 3. In: Fundamenta Mathematicae. Band 1. 1920, S. 223
2. ↑ Ronald Jensen: Souslin's hypothesis is incompatible with V=L. In: Notices of the American Mathematical Society. Band 15, 1968, S. 935.
3. ↑ Robert M. Solovay, Stanley Tennenbaum: Iterated Cohen extensions and Souslin's problem. In: Annals of Mathematics. Serie 2, Band 94. 1971, S. 201–245.

Literatur

• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.