Dedekindscher Schnitt

Ein Dedekindscher Schnitt ist in der mathematischen Ordnungstheorie eine Teilmenge der rationalen Zahlen, mit der sich eine reelle Zahl darstellen lässt. Auf diese Weise kann man die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen konstruieren. Benannt ist diese „Methode der Dedekindschen Schnitte“ nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind. Sie kann allgemein zur Vervollständigung von Ordnungen verwendet werden, die wie die rationalen Zahlen in sich dicht liegen. Auch bei dieser Verallgemeinerung der Methode sind die Bezeichnungen üblich, die in diesem Artikel definiert und benutzt werden.

Eine Teilmenge α der rationalen Zahlen ist genau dann ein Dedekindscher Schnitt, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. α ist nicht leer und umfasst nicht alle rationalen Zahlen ($\alpha \neq \mathbb Q$).
2. α ist nach unten abgeschlossen, das heißt wenn $p\in \alpha$, $q \in \mathbb Q$ und p > q, dann ist auch $q \in \alpha$.
3. α enthält kein größtes Element, das heißt für jedes $p\in \alpha$ gibt es ein $r\in \alpha$ mit p < r.

Diese drei Bedingungen lassen sich zusammenfassend so formulieren: α ist ein offenes, nach unten unbeschränktes und nach oben beschränktes Intervall von rationalen Zahlen.

Konstruktion der reellen Zahlen

Als Menge $\mathbb R$ der reellen Zahlen nimmt man nun die Menge aller Dedekindschen Schnitte. In diese bettet man die rationalen Zahlen ein, indem man jeder Zahl als Schnitt die Menge aller kleineren Zahlen zuordnet. Der rationalen Zahl $x \in \mathbb Q$ ordnet man also den Dedekindschen Schnitt

$x^* := \{s \in \mathbb Q \mid s < x \}$

zu. Aber auch die Zahlen, die in $\Q$ fehlen, weil $\Q$ an der entsprechenden Stelle eine Lücke hat, lassen sich durch Dedekindsche Schnitte darstellen. Die Zahl $\sqrt 2$ entspricht zum Beispiel dem Dedekindschen Schnitt

$\{s \in \Q \mid s < 0 \text{ oder } s^2 < 2 \} \,.$

Damit man die Dedekindschen Schnitte sinnvoll „Zahlen“ nennen kann, muss man die Rechenoperationen und die Ordnung der neuen Zahlen so festsetzen, dass sie die Rechenoperationen auf den rationalen Zahlen und deren Ordnung fortsetzen.

Seien dazu α und β zwei beliebige Dedekindsche Schnitte.

Ordnung

α < β genau dann, wenn α echte Teilmenge von β ist.

Dies definiert eine strenge Totalordnung auf $\mathbb R$. Diese ist sogar (nach Konstruktion) ordnungsvollständig, das heißt jede beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum. Ist nämlich A eine Menge von Dedekindschen Schnitten und β eine obere Schranke, so ist also jeder Dedekindschen Schnitt $\alpha \in A$ eine Teilmenge von β. Die Vereinigung aller $\alpha \in A$ ist dann auch ein Dedekindscher Schnitt, die kleinste obere Schranke von A.

Addition

$\alpha + \beta := \{r+s \mid r\in \alpha, s\in \beta\}$.

Man kann zeigen, dass dies tatsächlich eine Addition, also eine kommutative, assoziative Verknüpfung, definiert und dass es zu jedem Dedekindschen Schnitt α ein additiv inverses Element − α gibt. Des Weiteren fällt die Definition dieser Addition mit der bereits bekannten Addition auf $\mathbb Q$ zusammen.

Multiplikation

Für α > 0 ^* und β > 0 ^* definiert man die Multiplikation wie folgt:

$\alpha \cdot \beta := \{ p \in \mathbb Q \mid \exists \, r \in \alpha, s \in \beta, r, s > 0 \colon p \leq r \cdot s \}$

Diese Multiplikation kann man auf ganz $\mathbb R$ ausdehnen, indem man

$\alpha \cdot 0^* := 0^* \cdot \alpha := 0^*$

und

$\alpha\cdot \beta := \begin{cases} (-\alpha)\cdot (-\beta) & \alpha, \beta < 0^* \\ -((-\alpha)\cdot (\beta)) & \alpha < 0^*, \beta > 0^* \\ -((\alpha)\cdot (-\beta)) & \alpha > 0^*, \beta < 0^* \end{cases}$

definiert. Auch diese Multiplikation ist assoziativ, kommutativ und es gibt zu jedem $a \neq 0$ ein Inverses a ^{− 1}. Zudem fällt diese Multiplikation auch mit der auf $\mathbb Q$ zusammen, falls die Faktoren rational sind.

Verallgemeinerungen

• Eine zu den Dedekindschen Schnitten sehr ähnliche Methode wird zur Konstruktion der surrealen Zahlen benutzt.
• Jede (in sich) dichte strenge Totalordnung (M,<) lässt sich mit Hilfe von Dedekindschen Schnitten (auf M statt $\mathbb{Q}$) in eine ordnungsvollständige Ordnung N einbetten. Im Sinne der Ordnungstheorie ist eine total geordnete Menge in sich dicht geordnet, wenn zwischen zwei verschiedenen Elementen stets ein drittes liegt. Ob und wie sich andere auf M vorhandene Strukturen (wie hier die Verknüpfungen Addition und Multiplikation) „sinnvoll“ auf N fortsetzen lassen, hängt vom speziellen Anwendungsfall ab. → Vergleiche hierzu Ordnungstopologie.

Siehe auch

• Cauchy-Folge

Literatur

• Dedekind, Richard: Stetigkeit und irrational Zahlen. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1872. (online)