Teilerfunktion

In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet. ^[1]

Definition

Für eine natürliche Zahl n ist

σk(n) =	∑	dk
	d | n

.

Eigenschaften

• σ_k ist multiplikativ. Das heißt, für teilerfremde n,m gilt $\sigma_k(n\cdot m) = \sigma_k(n)\cdot\sigma_k(m)$.
• Hat n die Primfaktorzerlegung $n=\prod_{i=1}^r{p_i^{e_i}}$, so ist
  • $\sigma_k(n)=\prod_{i=1}^r\sum_{j=0}^{e_i}{p_i^{jk}}$,
  • $\sigma_k(n)=\prod_{i=1}^r\frac{p_i^{k(e_i+1)}-1}{p_i^k-1}$ für k > 0.

Spezialisierungen

• σ₀ ist die Teileranzahlfunktion,
• σ₁ ist die Teilersumme.

Quellen

1. ↑ Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld. (englisch)