Verzerrtes Produkt

In der Mathematik und der Physik, insbesondere in der Differentialgeometrie und der Allgemeinen Relativitätstheorie, bezeichnet das verzerrte Produkt zweier Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten die Produktmannigfaltigkeit mit der verzerrten Produktmetrik.

Definition

Unter dem verzerrten Produkt $M\times_fN$ zweier Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M,g_M) und (N,g_N) längs einer strikt positiven Funktion $f:M\to(0;\infty)$ versteht man die Produktmannigfaltigkeit $M\times N$ ausgestattet mit dem Metrischen Tensor $g:=\pi^*(g_M)+(f\circ\pi)^2\sigma^*(g_N)$. Dabei bezeichnen $\pi:M\times N\to M$ und $\sigma:M\times N\to N$ die natürlichen Submersionen und g ^* den Pullback eines Tensors unter einer Abbildung g zwischen zwei Mannigfaltigkeiten. Dabei wird M als Basis und N als Faser der Produktmannigfaltigkeit bezeichnet.

Definition verzerrte Metrik

Unter einer verzerrten Produktmetrik versteht man eine Riemannsche oder Lorentsche Mannigfaltigkeit, deren Metrik durch

$ds^2 \, = g_{ab}(y) dy^a dy^b + f(y) g_{ij}(x) dx^i dx^j$

dargestellt werden kann. D. h. insbesondere zerfällt die betrachtete Mannigfaltigkeit in das kartesische Produkt einer „y“- und einer „x“-Geometrie, wobei die „x“-Metrik verzerrt wird.

Literatur

• Barrett O’Neill: Semi-Riemannian Geometrie, With Applications to Relativity, Academic Press, 1983