Zweiseitige Laplace-Transformation

In der Mathematik, bezeichnet man mit der zweiseitigen Laplace-Transformation eine Integraltransformation, die nahe verwandt zu der gewöhnlichen, zur Unterscheidung manchmal auch einseitig genannten, Laplace-Transformation ist.

Definition

Für eine reell- oder komplexwertige Funktion f(t) einer reellen Variable t ist die zweiseitige Laplace-Transformation für alle reellen Zahlen s durch das Integral

$\mathcal{B} \left\{f(t)\right\} = F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$

definiert.

Der Unterschied zur gewöhnlichen Laplace-Transformation ist die Integration von $- \infty$ bis $\infty$ statt über $(0,\infty)$.

In der Systemtheorie spielt die zweiseitige Laplace-Transformation, im Gegensatz zur gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation, nur eine untergeordnete Rolle. Der Grund liegt darin, dass sich in der Physik und Technik ausschliesslich auftretende kausale Systeme mit der einseitigen Laplace-Transformation beschreiben lassen. Bei der theoretischen Analyse von nichtkausalen Systemen, dies sind Systeme die eine Wirkung vor der auslösenden Ursache zeigen, ist die zweiseitige Laplace-Transformation zu verwenden, welche, in Abhängigkeit der Funktion f(t), für $t \to -\infty$ schlechtes Konvergenzverhalten aufweist. Für kausale Systeme ist das Ergebnis der zweiseitigen Laplace-Transformation ident zu der gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation. Die zweiseitige Laplace-Transformation tritt weiters in der Wahrscheinlichkeitstheorie bei momenterzeugenden Funktionen auf.

Literatur

• Wilbur R. LePage: Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers.. Dover Publications, 1980.
• Balthasar van der Pol und H. Bremmer: Operational Calculus based on the Two-sided Laplace Transform.. Cambridge University Press, 1964.