Momenterzeugende Funktion

Mit der Momenterzeugenden Funktion kann das k-te Moment der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen ermittelt werden. In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen X definiert durch

$M_X(t)=E\left(e^{tX}\right)=E\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(tX)^n}{n!}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}E(X^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}m_X^n$,

falls deren Erwartungswerte E(Xⁿ) existieren. Dabei sind $m_X^n=E(X^n)$ die Momente einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Falls X eine stetige Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) hat, dann ist die momenterzeugende Funktion durch

$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x$

$= \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2}{2!}x^2 + \ldots\right) f(x)\,\mathrm{d}x$

$= 1 + t m_X^1 + \frac{t^2}{2!}m_X^2 +\ldots\,,$

gegeben, wobei $m_X^i$ das i-te Moment von X ist. Der Ausdruck $M_X\left(-t\right)$ ist also gerade die zweiseitige Laplacetransformation des durch X festgelegten Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Bemerkungen

Ursprung des Begriffs der momenterzeugenden Funktion

Die Bezeichnung momenterzeugend bezieht sich darauf, dass die k-te Ableitung von M_X im Punkt 0 (Null) gleich dem k-ten Moment der Zufallsvariablen X ist:

$\frac{\partial^k}{\partial t^k} M_X(t)\biggr\vert_{t=0} = E(X^k) = m_X^k$.

Durch die Angabe aller nicht verschwindenden Momente ist jede Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt, falls die momenterzeugende Funktion auf einem offenen Intervall ( − ε,ε) existiert ($\varepsilon > 0$).

Zusammenhang mit der charakteristischen Funktion

Die momenterzeugende Funktion steht in engem Zusammenhang mit der charakteristischen Funktion $\varphi_X(t) = E\left(e^{\mathrm{i}t X}\right)$, die im Wesentlichen die Inverse der Fourier-Transformierten des Wahrscheinlichkeitsmaßes darstellt.

Weitere erzeugende Funktionen

Zu den weiteren erzeugenden Funktionen zählt man die charakteristische Funktion, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die kumulantenerzeugende Funktion als Logarithmus der momenterzeugenden Funktion.

Eindeutigkeitseigenschaft

Ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsgröße X in einer Umgebung von 0 endlich, so bestimmt sie die Verteilung von X eindeutig.^[1] Formal bedeutet das:

Seien X und Y zwei Zufallsgrößen mit momenterzeugenden Funktionen M_X und M_Y derart, dass es ein $\varepsilon > 0$ gibt mit $M_X (s), M_Y (s) < \infty$ für alle $s \in (-\varepsilon,\varepsilon)$. Dann gilt P_X = P_Y genau dann, wenn M_X(s) = M_Y(s) für alle $s \in (-\varepsilon,\varepsilon)$ gilt.

Beispiele

Normalverteilung

Die Momenterzeugende Funktion einer normalverteilten Zufallsgröße $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ ist $M_X(t)=\exp{\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)}$.

Exponentialverteilung

Die Momenterzeugende Funktion einer exponentialverteilten Zufallsgröße mit Parameter λ ist $M_X(t)= \frac{\lambda}{\lambda-t}$

Verallgemeinerung auf mehrdimensionale Zufallsvariablen

Für $\ell$ Zufallsvariablen $\overline{\mathbf{X}} = (X_1, \ldots , X_\ell)$ lässt sich die momenterzeugende Funktion wie folgt erweitern:

$M_{\overline{\mathbf{X}}}(t) =E\left(\sum_{n_1\cdots n_\ell=0}^{\infty}\frac{(t_1 X_1)^{n_1}\cdots(t_\ell X_\ell)^{n_\ell} }{n_1!\cdots n_\ell!}\right) = \sum_{n_1\cdots n_\ell=0}^{\infty}\frac{t_1^{n_1} \cdots t_\ell^{n_\ell} }{n_1!\cdots n_\ell!}m_{\overline{\mathbf{X}}}^n$.

Einzelnachweise

1. ↑ The Annals of Mathematical Statistics: J. H. Curtiss: A Note on the Theory of Moment Generating Functions , 16. Oktober 2008