Achilles und die Schildkröte

Als Paradoxon von Achilles und der Schildkröte wird einer von mehreren bekannten Trugschlüssen bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:

Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Weg-Vorsprung gewonnen, und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähert, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne.

Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Diese ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Geschwindigkeitsdifferenz der beiden Läufer oder bei gleichbleibendem Verhältnis, umgekehrt proportional zu den beiden Geschwindigkeiten. ^{[Anm. 1]}

Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:^[1]

1. Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.^{[Anm. 2]}
2. Der Weg – vor dem Einholpunkt –, den Achilles zurückgelegt hat, kann beliebig oft – potenziell unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft durchgeführt werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.

Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der Unendlichkeit beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird.

Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in Aristoteles’ Physik^[2] und Simplikios’ Kommentar^[3] dazu.

Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil-Paradoxon. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von Lewis Carroll in seinem kurzen Dialog What the Tortoise Said to Achilles^[4] (Was die Schildkröte zu Achilles sagte) vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird.^[5]

Siehe auch

• Zenonische Paradoxien
• Infinitesimalrechnung

Anmerkungen

1. ↑ Es ist uns - heute - möglich, Zenons Ansatz zu benutzen, um die Zeit auszurechnen, wann Achilles die Schildkröte überholt. Die Teilzeiten, die Zeiten, die Achilles benötigt um jeweils den Vorsprung aufzuholen, sind gegeben durch:

   t_n = t_{n − 1} * v_s / v_a.

   Die Summe all dieser Teilzeiten ist gegeben durch:

   $\sum_{n=1}^\infty t_n$ mit :t₁ = x / v_a

   Diese Reihe konvergiert und der Grenzwert entspricht der Zeit t = x / (v_a - v_s), bei der Achilles die Schildkröte überholt hat. Da der Geschwindigkeitsbegriff zur Zeit Zenons unbekannt war, konnte er auch nicht diese Zeit bestimmen.
2. ↑ Das Problem wird mit der Grenzwertbetrachtung (darauf weist „lim“ hin) einer geometrischen Reihe gelöst, ohne auf Zenons Argumentation einzugehen: a₀ ist der Anfangsvorsprung, q das Verhältnis der Geschwindigkeiten beider Läufer und zwar so, dass q < 1 ist, also das Verhältnis des Langsameren zum Schnelleren:

   $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 \cdot q^k = \lim_{n \to \infty}a_0\cdot\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{a_0}{1-q},$

   a₀ · q^k bezeichnet die immer kleiner werdenden Laufintervalle, weil k mit jedem wiederholten Einholen (also der Logik des Paradoxes) um eins größer wird. Die Grenzwertbetrachtung stellt sicher, dass der uneigentliche Begriff „unendlich klein“, das ist hier qⁿ⁺¹, im Ergebnis nicht mehr vorkommt, weil es in der Mathematik keine Aussage über ihn gibt, sondern nur dass er vorkommt.

Literatur

• Max Black: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 11 (1950), 91-101.
• Simon Blackburn: Practical Tortoise Raising, in: Mind 104 (1995), 696-711.
• S. Brown: What the Tortoise taught us, in: Mind 63 (1954), 170-179.
• Florian Cajori: The Purpose of Zeno's Arguments on Motion, in: Isis 3/1 (1920), 7-20.
• L. Carroll (C.L. Dogson): What the Tortoise said to Achilles, in: Mind 104 (1995), 278-280.
• M. Clark: Paradoxes, from A to Z, Routledge, London 2000.
• Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, in: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.
• Adolf Grünbaum: Modern Science and Zeno's Paradoxes, Middletown: Wesleyan University Press 1967.
• Andrew Harrison: Zeno's Paper Chase, in: Mind 76/304 (1967), 568-575.
• J. M. Hinton / C. B. Martin: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 14/3 (1954), 56-68.
• C. V. Jones: Zeno's paradoxes and the first foundations of mathematics (Spanish), in: Mathesis 3/1 1987.
• S. Makin: Art. Zeno of Elea, in: Routledge Encyclopedia of Philosophy 9, 843-853. London, 1998.
• R. Morris: Achilles in the Quantum Universe, Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire 1997.
• Aloys Müller: Das Problem des Wettlaufs zwischen Achill und der Schildkröte, in: Archiv für Philosophie 2 (1948), 106-111.
• Stanislaus Quan: The Solution of Zeno's First Paradox, in: Mind 77/306 (1968), 206-221.
• W. D. Ross: Aristotle's Physics, Oxford: Clarendon 1936, xi-xii Bibliographie älterer Literatur zu den Paradoxien der Bewegung, 70-85u.ö.Kommentar zu den Abschnitten bei Aristoteles.
• Bertrand Russell: Our Knowledge of the External World, Open Court, London-Chicago 1914, Kap. 5 und 6.
• Richard Mark Sainsbury: Paradoxien, Stuttgart: Reclam 2001 (=Reclams Universal-Bibliothek 18135), ISBN 3-15-018135-6.
• Wesley C. Salmon (Hrsg.): Zeno’s paradoxes, Hacket Indianapolis 1970, Nachdruck 2001, ISBN 0-87220-560-6.
• Wesley C. Salmon: Space, Time and Motion, Enrico, California and Belmont, California, Dickenson Publishing Co., Inc. 1975, Kap. 2
• T. Smiley: A Tale of Two Tortoises, in: Mind 104 (1995), 725-736.
• Roy Sorensen: A Brief History of the Paradox, Oxford University Press 2003.
• L. E. Thomas: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 12/4 (1952), 92-94.
• J. F. Thomson: What Achilles should have said to the Tortoise, in: Ratio 3 (1960), 95-105.

Weblinks

• Nick Huggett: Zeno's Paradoxes, in: Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• Eintrag in Wolfram's Math World (Englisch, mit weiterer Literatur)
• Lecture Notes von S. Savitt (Philosophiedozent an der University of British Columbia, englisch; PDF-Datei; 71 kB)
• Peter Lynds: Zeno‘s Paradoxes: A Timely Solution (Englisch mit weiterer Literatur; PDF-Datei; 166 kB)
• Matheplanet-Artikel
• Achilles, die Schildkröte und die Zeitlupe von Theodor Rieh

Einzelnachweise

1. ↑ Nach Peter Janich: „Achilles und die Schildkröte“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, Band 1, Metzler Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, Seite 41, ISBN 3-476-02012-6
2. ↑ VI,9,239b14-240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.
3. ↑ Simplicius: On Aristotle's Physics 1014,10, vgl.: Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, hg. S. M. Chohen / P. Curd / C. D. C. Reeve, Indianapolis/Cambridge: Hackett 1995, 58f
4. ↑ Mind 1(1895), S. 278-280
5. ↑ hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, in: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.