Achilleus und die Schildkröte

Als Paradoxon von Achilles und der Schildkröte wird einer von mehreren bekannten Trugschlüssen bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:

Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Weg-Vorsprung gewonnen, und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte zu jedem Zeitpunkt hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähern, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne.

Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat.

Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:^[1]

1. Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.
2. Der Weg - vor dem Einholpunkt -, den Achilles zurückgelegt hat, kann beliebig oft – potenziell unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft durchgeführt werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.

Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei.

Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in Aristoteles’ Physik^[2] und Simplikios’ Kommentar^[3] dazu.

Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil-Paradoxon. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von Lewis Carroll in seinem kurzen Dialog What the Tortoise Said to Achilles^[4] (Was die Schildkröte zu Achilles sagte) vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird.^[5]

Siehe auch

• Zenonische Paradoxien
• Infinitesimalrechnung

Literatur

• Max Black: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 11 (1950), 91-101.
• Simon Blackburn: Practical Tortoise Raising, in: Mind 104 (1995), 696-711.
• S. Brown: What the Tortoise taught us, in: Mind 63 (1954), 170-179.
• Florian Cajori: The Purpose of Zeno's Arguments on Motion, in: Isis 3/1 (1920), 7-20.
• L. Carroll (C.L. Dogson): What the Tortoise said to Achilles, in: Mind 104 (1995), 278-280.
• M. Clark: Paradoxes, from A to Z, Routledge, London 2000.
• Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, in: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.
• Adolf Grünbaum: Modern Science and Zeno's Paradoxes, Middletown: Wesleyan University Press 1967.
• Andrew Harrison: Zeno's Paper Chase, in: Mind 76/304 (1967), 568-575.
• J. M. Hinton / C. B. Martin: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 14/3 (1954), 56-68.
• C. V. Jones: Zeno's paradoxes and the first foundations of mathematics (Spanish), in: Mathesis 3/1 1987.
• S. Makin: Art. Zeno of Elea, in: Routledge Encyclopedia of Philosophy 9, 843-853. London, 1998.
• R. Morris: Achilles in the Quantum Universe, Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire 1997.
• Aloys Müller: Das Problem des Wettlaufs zwischen Achill und der Schildkröte, in: Archiv für Philosophie 2 (1948), 106-111.
• Stanislaus Quan: The Solution of Zeno's First Paradox, in: Mind 77/306 (1968), 206-221.
• W. D. Ross: Aristotle's Physics, Oxford: Clarendon 1936, xi-xii Bibliographie älterer Literatur zu den Paradoxien der Bewegung, 70-85u.ö.Kommentar zu den Abschnitten bei Aristoteles.
• Bertrand Russell: Our Knowledge of the External World, Open Court, London-Chicago 1914, Kap. 5 und 6.
• Richard Mark Sainsbury: Paradoxien, Stuttgart: Reclam 2001 (=Reclams Universal-Bibliothek 18135), ISBN 3-15-018135-6.
• Wesley C. Salmon (Hrsg.): Zeno’s paradoxes, Hacket Indianapolis 1970, Nachdruck 2001, ISBN 0-87220-560-6.
• Wesley C. Salmon: Space, Time and Motion, Enrico, California and Belmont, California, Dickenson Publishing Co., Inc. 1975, Kap. 2
• T. Smiley: A Tale of Two Tortoises, in: Mind 104 (1995), 725-736.
• Roy Sorensen: A Brief History of the Paradox, Oxford University Press 2003.
• L. E. Thomas: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 12/4 (1952), 92-94.
• J. F. Thomson: What Achilles should have said to the Tortoise, in: Ratio 3 (1960), 95-105.

Weblinks

• Zenon applet
• Nick Huggett: „Zeno's Paradoxes“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• Eintrag in Wolfram's Math World (Englisch, mit weiterer Literatur)
• Lecture Notes von S. Savitt (Philosophiedozent an der University of British Columbia, englisch)
• Peter Lynds: Zeno‘s Paradoxes: A Timely Solution (Englisch mit weiterer Literatur)
• Matheplanet-Artikel
• Achilles, die Schildkröte und die Zeitlupe

Einzelnachweise

1. ↑ Die Darstellung folgt sehr eng Peter Janich: „Achilles und die Schildkröte“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, Band 1, Metzler Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, Seite 41, ISBN 3-476-02012-6
2. ↑ VI,9,239b14-240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.
3. ↑ Simplicius: On Aristotle's Physics 1014,10, vgl.: Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, hg. S. M. Chohen / P. Curd / C. D. C. Reeve, Indianapolis/Cambridge: Hackett 1995, 58f
4. ↑ Mind 1(1895), S. 278-280
5. ↑ hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, in: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.