Delay-Differentialgleichung

Delay-Differentialgleichung

Retardierte Differentialgleichungen sind ein spezieller Typ Differentialgleichung, oft auch als DDE (Delayed Differential Equation) abgekürzt oder als Differentialgleichung mit nacheilendem Argument bezeichnet. Bei ihnen hängt die Ableitung einer unbekannten Funktion zum Zeitpunkt t nicht nur vom Funktionswert an diesem Zeitpunkt ab, sondern auch von Funktionswerten an früheren Zeitpunkten t − τi oder von Integralen über die Funktion über vergangene Zeitintervalle. DDEs spielen in Modellen eine Rolle, in denen die Wirkung erst verspätet (retardiert) auf die Ursache folgt. Bekannte Beispiele sind in der Epidemiologie (Infektion, Inkubationszeit), Populationsentwicklung in der Biologie (Fortpflanzung, Geschlechtsreife) und Regeltechnik (Verzögerungszeit) zu finden.

Inhaltsverzeichnis

Notation

Eine DDE mit einer unbekannten Funktion x(t) und einer punktweisen Verzögerung kann als

\dot x=f(t,x(t),x_{\tau_1},\ldots x_{\tau_n}) notiert werden, mit
\dot x=\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t) und x_{\tau_n}=x(t-\tau_n).

Eine DDE mit kontinuierlicher Verzögerung kann als

\dot x=f\left(t,x(t),\int_{-\infty}^0x(t+\tau){\rm d}\mu(\tau)\right)

geschrieben werden.

Beispiele

  • Populationsentwicklung

Sei x die Populationsdichte geschlechtsreifer Individuen, τ die Dauer bis zur Geschlechtsreife, α die pro-Kopf Fortpflanzungsrate, μ die Sterberate und p die Wahrscheinlichkeit, dass die Geschlechtsreife erreicht wird. Dann entwickelt sich die Populationsdichte gemäß

\dot x=-\mu x(t)+\alpha p x(t-\tau) [1]

Besonderheiten

Populationsentwicklung einer Art

Im Vergleich zu den Anfangswerten bei nicht-verzögerten Differentialgleichungen muss bei DDEs die Funktion x(t) über ein Zeitintervall gegeben sein, das mindestens so lang wie die maximale Verzögerung ist. Da man nun keine n Startwerte wie bei nicht-verzögerten Anfangswertproblemen, sondern Startfunktionen mit prinzipiell unendlich vielen Parametern hat, spricht man auch von unendlich-dimensionalen Systemen. Eine weitere Besonderheit ist, dass Diskontinuitäten in den Anfangsbedingungen schrittweise auf höhere Ableitungen verlagert werden. Wird z.B. obige DDE mit den Parametern μ = − 0.1,αp = 0.5,τ = 3 mit x(t) = 0 bei -3\le t < 0 und x(0) = 10 initialisiert, ergibt sich die abgebildete Populationsentwicklung. Zum Zeitpunkt t = 3 wird der bei t = 0 vorhandene Sprung von x = 0 auf x = 10 auf die erste Ableitung \dot x übertragen, bei t = 6 wird die Diskontinuität von der ersten Ableitung auf die zweite übertragen und so weiter, siehe auch das Beispiel schrittweises Integrieren. Anfängliche Unstetigkeiten klingen bei DDEs mit der Zeit ab.

Lösungsmethoden

Die meisten DDE haben keine analytische Lösung, so dass man auf numerische Verfahren angewiesen ist.[2].

Schrittweises Integrieren

  • Ist eine Trennung der Variablen möglich, kann durch schrittweises Integrieren eine geschlossene Lösung gewonnen werden.

Beispiel

Die DDE \frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=x(t-1) mit x = 1 für t\le 0 kann umgeschrieben werden zu

\int_{x(0)}^{x(t)}{\rm d}x'=\int_{0}^t 1 {\rm d}t'
x(t) − 1 = t
x(t) = t + 1,

womit die Lösung für das Intervall 0 < t < 1 bekannt ist. Für das Intervall 1 < t < 2 findet man

\int_{x(1)}^{x(t)}{\rm d}x'=\int_{1}^t (t+1) {\rm d}t'
x(t)-2=\frac{t^2}{2}+t-\frac{3}{2}
x(t)=\frac{t^2}{2}+t+\frac{1}{2},

und so weiter.

Als nicht-verzögertes DGL-System umschreiben

Manchmal kann man kontinuierliche DDE als ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen schreiben.

Beispiel

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=f\left(t,x(t),\int_{-\infty}^0x(t+\tau)e^{\lambda\tau}{\rm d}\tau\right).

Durch die Substitution y(t)=\int_{-\infty}^0x(t+\tau)e^{\lambda\tau}{\rm d}\tau erhält man

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=f(t,x,y),\quad \frac{\rm d}{{\rm d}t}y(t)=x-\lambda y.

Weblinks

Quellen

  1. O. Arino, M.L. Hbid, E. Ait Dads (Hrsg.): Delay Differential Equations and Applications. In: NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Springer-Verlag, Niederlande 2006.
  2. M. R. Roussel: Delay-differential equations. 2005.

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Differentialgleichung — Eine Differentialgleichung (auch Differenzialgleichung, oft durch DGL oder DG abgekürzt) ist eine mathematische Gleichung für eine gesuchte Funktion y(x), die von einer oder mehreren Variablen x abhängt und in welcher Ableitungen der Funktion… …   Deutsch Wikipedia

  • Retardierte Differentialgleichung — Retardierte Differentialgleichungen sind ein spezieller Typ Differentialgleichung, oft auch als DDE (Delayed Differential Equation) abgekürzt oder als Differentialgleichung mit nacheilendem Argument bezeichnet. Bei ihnen hängt die Ableitung einer …   Deutsch Wikipedia

  • Blaue Fleischfliege — Schmeißfliegen Blaue Fleischfliege (Calliphora vicina) Systematik Klasse: Insekten (Insecta) …   Deutsch Wikipedia

  • Calliphoridae — Schmeißfliegen Blaue Fleischfliege (Calliphora vicina) Systematik Klasse: Insekten (Insecta) …   Deutsch Wikipedia

  • Schmeissfliegen — Schmeißfliegen Blaue Fleischfliege (Calliphora vicina) Systematik Klasse: Insekten (Insecta) …   Deutsch Wikipedia

  • Schmeißfliege — Schmeißfliegen Blaue Fleischfliege (Calliphora vicina) Systematik Klasse: Insekten (Insecta) …   Deutsch Wikipedia

  • Differentialgleichungen — Eine Differentialgleichung, oder auch „Differenzialgleichung“, (oft durch DGL oder DG abgekürzt) ist eine mathematische Gleichung, in der eine gesuchte Funktion y(x), die von einer oder mehreren Variablen abhängt, und Ableitungen dieser Funktion… …   Deutsch Wikipedia

  • Differentialgleichungssystem — Eine Differentialgleichung, oder auch „Differenzialgleichung“, (oft durch DGL oder DG abgekürzt) ist eine mathematische Gleichung, in der eine gesuchte Funktion y(x), die von einer oder mehreren Variablen abhängt, und Ableitungen dieser Funktion… …   Deutsch Wikipedia

  • Differenzialgleichung — Eine Differentialgleichung, oder auch „Differenzialgleichung“, (oft durch DGL oder DG abgekürzt) ist eine mathematische Gleichung, in der eine gesuchte Funktion y(x), die von einer oder mehreren Variablen abhängt, und Ableitungen dieser Funktion… …   Deutsch Wikipedia

  • DDE — Die Abkürzung DDE steht für: Escort destroyer (Geleitzerstörer), eine Klassifikation der US Navy, die zwischen 1945 und 1962 benutzt wurde Dynamic Data Exchange Dichlordiphenyldichlorethen, ein Abbauprodukt des DDT Digitale Diesel Elektronik, ein …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”