Differenzendreieck

Mit Spurdreieck (auch: Differenzendreieck) wird eine graphische Hilfskonstruktion der darstellenden Geometrie zur Ermittlung der wahren Länge einer Strecke bezeichnet. Die Hilfskonstruktion ist erforderlich, da Strecken im dreidimensionalen Zeichnungsraum durch die Projektion auf eine zweidimensionale Blattebene verkürzt erscheinen, ihre wahre Länge also nicht einfach abgemessen werden kann, wenn sie nicht parallel zu einer der drei Projektionsebenen („Tafeln“) liegen. Erstmals beschrieben wurde das Spurdreieck in der Zweitafelprojektion des Gaspard Monge. Das Verfahren wird daher auch Drehung nach Monge genannt.

Prinzip der Drehung nach Monge

Verfahren

Anschaulich gesagt, wird mit dem nachfolgend beschriebenen Verfahren ein Treppengeländer oder ein Gratsparren sozusagen über eine Hilfsebene in die Grundrissebene geklappt. Nach der Klappung kann man dann wahre Strecken und Winkel abnehmen. Das Verfahren lässt sich mit jeder der drei Hauptebenen durchführen. Es ist vom Prinzip her vergleichbar mit der im Zimmermannshandwerk bekannten Schiftung, wo es praktische Anwendung findet.

Konstruktion

Spurdreieck in der darstellenden Geometrie. (Skizze)
Der rechte Winkel des aufrecht in der Hilfsebene stehenden Differenzendreiecks ist projektiv verzerrt, erscheint also in der Bildebene für den Betrachter nicht mit 90°.

Gegeben sei eine beliebige Strecke $\overline{AB}$ in allgemeiner Lage im Raum. Bekannt sind deren orthogonale Projektionen auf zwei Projektionsebenen z. B. $\overline{A' B'}$ in der Grundrissebene π₁ und $\overline{A^{\prime\prime} B^{\prime\prime}}$ in der Aufrissebene π₂.

• Konstruktion der Hilfsebene durch $\overline{AB}$ und $\overline{A' B'}$
• Parallelverschiebung der Geraden durch A und B in der Hilfsebene, so dass sie durch Punkt B' verläuft. Damit erhält man den Punkt A₀ als Schnittpunkt der neuen Geraden durch B' mit der Geraden durch die Punkte A und A', sowie das rechtwinklige Dreieck A'A₀B', dessen Hypotenuse die Strecke $\overline {A_0 B'}$ ist. Eine Kathete ist die Grundrissspur $\overline{A' B'}$, die andere Kathete ist die Höhe $\overline {A' A_0}$ als Differenz z_A − z_B (daher Differenzdreieck). Sein rechter Winkel bei A' wird in der Hilfsebene projektiv verzerrt dargestellt.
• Umklappen der Hilfsebene (Drehung um die Spurgerade $\overline{A' B'}$) und des darin enthaltenen Differenzdreiecks in die Grundrissebene. Der Klappvorgang bedeutet zugleich eine Transformation des Koordinatensystem; das neue zweidimensionale kartesische System wird dabei der Zeichnung überlagert, so dass eine seiner Achsen parallel zu Strecke $\overline {A' B'}$ und seine andere, also die bisherige z-Achse, parallel zur Strecke $\overline {A' A_0'}$ in der Bildebene liegen. In Begriffen der darstellenden Geometrie formuliert passiert da eigentlich eine vorgestellte räumliche Klappung der Ebene um die Gerade durch A' und B'. Im Moment des Umklappens wird die Drehachse (die im Zeichnungsraum eigentlich in der Grundrissebene liegt und eine räumliche Tiefe hat) umgedeutet und als zweidimensional flach in der Bildebene liegend betrachtet. Durch Abtragen des rechten Winkels bei A' in seiner wahren Größe in Punkt A' sowie des Punktes A₀ nach A₀' auf die in die Grundrissbene umgeklappte Hilfsebene erhält man das Spurdreieck A'A₀'B'.
• Die durch A₀' und B' begrenzte Strecke (seine Hypotenuse) zeigt die wahre Länge von $\overline{AB}$. Das Spurdreieck hat seine wahre Gestalt, und Winkel in diesem Dreieck sind wahre Winkel, bezogen auf das transformierte Koordinatensystem.

In gleicher Weise funktioniert die Monge-Drehung, wenn nur zwei Tafeln verwendet werden, wie es bei der Monge-Projektion üblich ist. Diese Darstellungsweise ist schneller zu zeichnen, jedoch weniger anschaulich.

Konstruktion in π1

Konstruktion in π2

Literatur

• Arno Bonanni: Darstellende Geometrie I, Ein- und Zweitafelverfahren für Architekten, TU Berlin 1996, S. 27