Dilatation (Bildverarbeitung)

Dilatation (von lat.: dilatare = ausdehnen, erweitern) ist eine morphologische Basis-Operation in der digitalen Bildverarbeitung.

Dilatation mittels strukturierendem Element

Dilatation eines Binärbildes mit einem Kreis als strukturierendem Element

In der digitalen Bildverarbeitung wird i.a. die Dilatation mittels strukturierendem Element angewandt. Mathematisch gesehen handelt es sich dabei im Falle von Binärbildern um die Bildung der Minkowski-Summe von Bild und strukturierendem Element.
Die Dilatation eines Bildes A mit einem strukturierenden Element X bezeichnet man als $A \oplus X$. Anschaulich bedeutet das im Fall der Binärbildmorphologie, dass man an jedem Bildpunkt von A das komplette Element X einfügt, den Bildpunkt quasi auf die Form des strukturierenden Elementes ausdehnt (dilatiert).

Grauwertbildverarbeitung

Auf einem Grauwertbild wirkt die Dilation mit einem strukturierenden Element ähnlich einem Maximum-Filter. Helle Strukturen werden vergrößert, dunklere verkleinert. $(A \oplus X)(x,y) = \textrm{max}\{A(x+s,y+t)+X(s,t)|(s,t) \epsilon D_X\}$ wobei D_X den Definitionsbereich des strukturierenden Elements darstellt.

Verallgemeinerung

Gegeben sei ein vollständiger Verband V. Ein Operator δ auf V ist eine Dilatation, wenn er bezüglich der Supremumsbildung $\bigvee$ distributiv ist, also gilt:
$\delta\left(\bigvee_{x_i \in V} x_i\right) = \bigvee_{x_i \in V}\delta(x_i)$.
Binärbilder stellen die Elemente eines (booleschen) Verbands dar; die Supremumsbildung ist dann die Veroderung von Bildern (ein Bildpunkt wird gesetzt, wenn er in einem der Ausgangsbilder gesetzt ist). Im Fall von Grauwertbildern wird an jeder Stelle der Maximalwert aus den Bildern genommen.

Adjunktion von Dilatation und Erosion

In der mathematischen Morphologie bilden Dilatationen und Erosionen auf einem vollständigen Verband V selbst wieder zwei zueinander isomorphe Verbände. Zu jeder Dilatation δ gibt es eine Erosion ε mit
$\varepsilon\left(X\right) = \bigvee\left\{A \in V | \delta(A) \leq X\right\}$
und zu jeder Erosion ε eine Dilatation δ mit
$\delta\left(Y\right) = \bigwedge\left\{B \in V | \varepsilon(B) \geq Y\right\}$.
Somit gilt für $X,Y \in V$
$\delta\left(X\right) \leq Y \Leftrightarrow X \leq \varepsilon\left(Y\right)$.

Siehe auch

• Minkowski-Summe
• Erosion
• Mathematische Morphologie