Mathematische Morphologie (Mathematik/Bildverarbeitung)

Die mathematische Morphologie (MM) ist ein theoretisches Modell für digitale Bilder und basiert auf Verbandstheorie und Topologie.

Die Morphologie ist ein Zweig der Bildverarbeitung, der sich mit der Verarbeitung von binären Bildern (Rastergrafiken) befasst. Binäre Rastergrafiken sind Bilder, deren Bildelemente (Pixel) nur einen von zwei verschiedenen Farbwerten annehmen können.

Basisoperationen in der Morphologie sind Dilatation, Erosion, Vereinigung, Schnittmengenbildung und Mengendifferenzbildung.

Aufbauend auf diesen Operationen können weitere Operationen wie Opening, Closing, Verdünnung, Umriss-Extraktion oder beispielsweise die Skelettierung konstruiert werden.

Grundlegende Konzepte

Interpretation als Verband

In der mathematischen Morphologie werden Bildsignale als Elemente eines (vollständigen) Verbandes interpretiert. Dies ist ein Paradigmenwechsel im Vergleich zur klassischen (linearen) Signalverarbeitung, in der Bilder als Elemente eines Vektorraumes aufgefasst werden. In beiden Fällen ist man an Operatoren $\varphi$ interessiert, die die zugrundeliegende Struktur erhalten. Im Fall des Vektorraumes sind dies das Verstärkungs- und das Superpositionsprinzip.
$\varphi\left[\sum_i a_i S_i\right] = \sum_i a_i \varphi\left[S_i\right]$
Man kann zeigen, dass alle verschiebungsinvarianten Operatoren, die diese Gleichung erfüllen, als lineare Filter dargestellt werden können. Wählt man für die Funktionen S_i die Eigenfunktionen des Vektorraumes, so handelt es sich bei $\varphi\left[S_i\right]$ um das Fourierspektrum des Operators.

Die grundlegenden Verknüpfungen eines Verbandes sind die Bildung von Infimum ($\wedge_i S_i$) und Supremum ($\vee_i S_i$). Außer der trivialen Identitätsabbildung gibt es allerdings keinen Operator, der bezüglich beider Verknüpfungen invariant ist. Entsprechend gibt es zwei grundlegende Operatoren, namentlich die Dilatation δ und die Erosion $\varepsilon$, für die man folgende Eigenschaften fordert:

• $\delta\left[\bigvee_i S_i\right] = \bigvee_i \delta\left[S_i\right]$
• $\varepsilon\left[\bigwedge_i S_i\right] = \bigwedge_i \varepsilon\left[S_i\right]$.
  

Als Dilatation (bzw. Erosion) bezeichnet man also einen Operator, der bezüglich der Supremumsbildung (bzw. Infimumsbildung) invariant ist. Anschaulich bedeutet das, dass man (im Fall der Dilatation) das Bild in einzelne Strukturen zerlegen kann, jede für sich dialtiert und die jeweiligen Ergebnisbilder unter Verwendung der Supremumsbildung wieder überlagert. Für die Erosion gilt die duale Aussage.

Topologischer Ansatz

Für den topologischen Ansatz wird die Nachbarschaft (das Umgebungsfilter) durch ein strukturierendes Element definiert. In diesem Fall sind Öffnen und Schließen die beiden dualen Grundoperatoren. Das Öffnen eines Bildes A mit einem struktrierendem Element X ist die größte Teilmenge von A, die bezüglich der durch X definierten Topologie offen ist. Entsprechendes gilt dual für das Schließen. Die Erosion von A mit X stellt in der topologischen Interpretation die maximale Menge der Bildpunkte dar, deren durch X definierte Umgebung vollständig in A enthalten ist. Die Dilatation von A mit X wiederum ist die minimale Menge an Bildpunkten, die für alle Punkte von A die durch X definierte Umgebung enthält.

Siehe auch

• Morphologische Bildverarbeitung

Weblinks

• Mathematical Morphology (englisch)