Dirichlet-Bedingung

Die Dirichlet-Bedingung auch Satz von Dirichlet genannt ist nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannt und gibt an, wann die Fourierreihe punktweise gegen die Ausgangsfunktion konvergiert.

Aussage

Sei f eine im Intervall [ − T / 2,T / 2] definierte Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:

1. Das Intervall [ − T / 2,T / 2] lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen f stetig und monoton ist.
2. Die (endlich vielen) Unstetigkeitsstellen sind alle von 1. Art, das heißt es existieren rechts- und linksseitiger Grenzwert, f(t₀ + ) und f(t₀ − ).

Dann konvergiert die Fourierreihe in jedem $t \in [-T/2,T/2]$ gegen

$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cdot \cos(n \omega t) + b_n \cdot \sin(n\omega t)) = \begin{cases} f(t), & \mbox{wenn }f\mbox{ in t stetig} \\ (f(t+)+f(t-))/2, & \mbox{wenn }f\mbox{ in t unstetig} \end{cases}$.

Quellen

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.