Dirichlet'sche η-Funktion

Die dirichletsche η-Funktion in der komplexen Zahlenebene.

In der Zahlentheorie ist die dirichletsche η-Funktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805−1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der riemannschen ζ-Funktion.

Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben eta (η) notiert; die dedekindsche η-Funktion, eine Modulform, wird aber ebenfalls so bezeichnet.

Definition und weitere Darstellungen

Die dirichletsche η-Funktion wird üblicherweise definiert als

$\begin{align}\eta(s) &=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^s} \\ &=(1-2^{1-s})\cdot\zeta(s)\end{align}$

Eine Integraldarstellung enthält die Gammafunktion Γ(s) und lautet

$\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int\limits_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1}{\mathrm dx}.$

Ihre Funktionalgleichung ist

$\eta(-s) = 2\pi^{-s-1} s \sin\left(\frac{\pi s}2\right) \Gamma(s)\eta(s+1).$

Eine Reihendarstellung ist gegeben durch

$\eta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n \choose k} \frac {1}{(k+1)^s}.$

Werte

Es gilt

$\eta(0) = \tfrac12$

$\eta(-1)=\tfrac14$

Für natürliche k gilt mit den Bernoulli-Zahlen B_k

$\eta(1-k) = \frac{2^k-1}{k} B_k.$

Die Werte für gerade Argumente

$\ \eta(1) = \ln2$ (die alternierende harmonische Reihe)

$\eta(2) = {\pi^2 \over 12}$

$\eta(4) = {{7\pi^4} \over 720}$

$\eta(6) = {{31\pi^6} \over 30240}$

$\eta(8) = {{127\pi^8} \over 1209600}$

$\eta(10) = {{73\pi^{10}} \over 6842880}$

$\eta(12) = {{1414477\pi^{12}} \over {1307674368000}}$

ergeben sich aus der allgemeinen Formel

$\eta(2n) = (-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi^{2n}(2^{2n-1} - 1)} \over {(2n)!}}.$

Die ersten Werte für ungerade Argumente sind

$\eta(3)=\frac34\zeta(3)$

$\eta(5)=\frac{15}{16}\zeta(5)$

Weiteres

Die Verwandschaften von η zu der dirichletschen λ-Funktion^[1] und der riemannschen ζ-Funktion werden durch folgende Formel zum Ausdruck gebracht^[2]:

$\frac{\zeta(v)}{2^v}=\frac{\lambda(v)}{2^v-1}=\frac{\eta(v)}{2^v-2}$

bzw.

$\ \zeta(v)+\eta(v)=2\lambda(v).$

Die dirichletsche eta-Funktion ist ein Spezialfall des Polylogarithmus, denn es gilt:

$\ \eta(x)=-\mathrm{Li}_x(-1).$

Die Ableitung ist gegeben durch

$\eta^\prime(x)=2^{1-x}(\ln2)\zeta(x)+(1-2^{1-x})\zeta^\prime(x).$

Außerdem gilt

$\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{[-\ln(x,y)]^s}{1+xy}\;\mathrm dx\,\mathrm dy=\Gamma(s+2)\eta(s+2).$

Literatur

• Eric W. Weisstein: Dirichlet Eta Function auf MathWorld (englisch)
• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, New York: Dover, 1972.
• Konrad Knopp [1922]: Theory and Application of Infinite Series. Dover 1990, ISBN 0-486-66165-2

Einzelnachweise

1. ↑ Eric W. Weisstein: Dirichlet Lambda Function auf MathWorld (englisch)
2. ↑ J. Spanier, K.B.Oldham: The Zeta Numbers and Related Functions. In: An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, S. 25-33, 1987.