Doppelverhältnis

Das Doppelverhältnis ist in der Geometrie eine Zahl, die die gegenseitige Lage von vier verschiedenen auf einer Geraden gelegenen Punkten kennzeichnet. Zwei dieser Punkte (zum Beispiel A und B) bestimmen dabei eine Strecke, die von den beiden anderen Punkten (etwa T und U) geteilt wird. Das Doppelverhätnis (ABTU) wird nun definiert als das Verhältnis der beiden Teilverhältnisse (ABT) und (ABU):

$\left(ABTU\right) = \frac{\left(ABT\right)}{\left(ABU\right)}$

Aufgrund dieser Definition ist das Doppelverhältnis positiv, wenn die Teilpunkte T und U entweder beide innerhalb der Strecke [AB] oder beide außerhalb der Strecke [AB] liegen. Liegt einer der Teilpunkte innerhalb und der andere außerhalb der Strecke [AB], so ist das Doppelverhältnis (ABTU) negativ.

Analytische Geometrie

Sind in einem Parallelkoordinatensystem die vier Punkte gegeben durch A(a|a'), und B(b|b') und T(t|t') und U(u|u'), so ist

$\left(ABTU\right) = \frac{\left(t - a\right)}{\left(b - t\right)}:\frac{\left(u - a\right)}{\left(b - u\right)} = \frac{\left(t' - a'\right)}{\left(b' - t'\right)}:\frac{\left(u' - a'\right)}{\left(b' - u'\right)}$.

Wie beim Teilverhältnis ergibt sich also das Doppelverhältnis aus dem Doppelverhältnis der entsprechenden Koordinatenabschnitte.

Vertauschen der erzeugenden Punkte

Vertauscht man die zugrundeliegende Strecke mit der durch die Teilpunkte gebildeten Strecke, so ändert sich das Doppelverhältnis nicht:

$\left(ABTU\right) = \left(TU\!AB\right)$

Vertauscht man dagegen nur die Endpunkte der Ausgangsstrecke, so erhält man den Kehrwert des Doppelverhältnisses:

$\left(BATU\right) = \frac{1}{\left(ABTU\right)}$. Entsprechendes gilt, wenn man die Teilpunkte T und U vertauscht.

Vertauscht man den Endpunkt der Basis mit dem ersten Teilpunkt, so erhält man

$\left(ATBU\right) = 1 - \left(ABTU\right)$. Entsprechendes gilt, wenn man den Anfangspunkt der Basis mit dem zweiten Teilpunkt vertauscht.

Vier verschiedene Punkte einer Geraden bilden also sechs (nicht notwendig alle verschiedene) Doppelverhältnisse:

$\lambda,\qquad \frac{1}{\lambda}, \qquad 1 - \lambda,\qquad \frac{1}{1 - \lambda},\qquad \frac{\lambda - 1}{\lambda},\qquad \frac{\lambda}{\lambda - 1}$

Harmonische Teilung

Von einer harmonischen Teilung spricht man, wenn die Punkte T und U die Strecke [AB] innen und außen im selben Verhältnis teilen, wenn also

$\left(ABU\right) = - \left(ABT\right)$ ist.

Das Doppelverhältnis ist dann $\left(ABTU\right) = - 1$

Möchte man zu drei vorgegebenen Punkten auf einer Gerade g den vierten bestimmen, so dass diese sich harmonisch Teilen, so geht man wie folgt vor (die Punkte sind A, C, B (C liegt zwischen A und B)):

Wir wählen einen beliebigen Punkt Z, der nicht auf der Geraden g liegt und verbindet diese mit allen drei Punkten. Man erhält dadurch die Strecken [AZ], [BZ] und [CZ]. Nun verbinden wir A mit einem beliebigen Punkt S auf der Strecke [BZ], dabei schneiden sich die neue Linie und die Verbindungslinie zwischen Z und C, diesen Schnittpunkt nennen wir G. Verbinden wir nun B und [AZ] so, dass die Verbindung durch den G läuft. Auf [AZ] erhalten wir dadurch einen Schnittpunkt T. Ziehen wir nun eine Gerade durch T und S. Der Schnittpunkt dieser Gerade und der Grundgerade g, den nennen wir D, ist der gesuchte Punkt, der das Doppelverhältnis =-1 induziert.

Projektive Geometrie

In einem Projektiven Raum kann das Doppelverhältnis aus den projektiven Koordinaten der vier kollinearen Punkte berechnet werden, dabei ist es von der speziellen Wahl des Koordinatensystems unabhängig. Umgekehrt können projektive Koordinaten als Doppelverhältnisse aufgefasst werden. → Siehe dazu Projektives Koordinatensystem.

Das Doppelverhältnis ist eine Invariante jeder projektiven Abbildung, d.h. es behält bei Anwendung einer solchen Abbildung seinen Wert. Diese Eigenschaft kann als kennzeichnendes Merkmal der projektiven Geometrie angesehen werden. Siehe dazu: Erlanger Programm. Diese Zusammenhänge waren schon im Altertum bekannt und finden sich z. B. bei Pappos. Sie sind der entscheidende Grund dafür, dass der Begriff Doppelverhältnis überhaupt entwickelt wurde.