Projektives Koordinatensystem

Ein Projektives Koordinatensystem erlaubt es, die Lage eines Punktes in einem projektiven Raum eindeutig durch die Angabe eines Koordinatenvektors zu beschreiben. Dadurch können in den mathematischen Gebieten der Geometrie und der linearen Algebra die strukturerhaltenden Abbildungen von projektiven Räumen (das sind die Kollineationen und vor allem die projektiven Abbildungen) durch koordinatenbezogene Abbildungsmatrizen dargestellt und die Räume mit Methoden der analytischen Geometrie untersucht werden.

Die Komponenten des Koordinatenvektors, der einen Punkt im projektiven Raum beschreibt, heißen projektive Koordinaten. Sie werden auch als homogene Koordinaten bezeichnet. (→ im Hauptartikel „Homogene Koordinaten“ wird auch erläutert, wie projektive Koordinaten zur Kennzeichnung von Elementen verwandter Strukturen wie affiner Räume verwendet werden können.)

In einem abstrakten projektiven Raum endlicher Dimension n ist das Koordinatensystem durch n + 2 geeignet gewählte Basispunkte bestimmt – die Punkte müssen in allgemeiner Lage gewählt sein (→ siehe „Allgemeine Lage“ in diesem Artikel) – und werden dann als projektive Punktbasis bezeichnet. Der Bezug auf Basispunkte an Stelle einer Vektorraumbasis (Hamelbasis), die im Standardmodell völlig ausreicht, ermöglicht eine modellunabhängige geometrische Beschreibung des Bezugssystems und in der synthetischen Geometrie die Einführung vergleichbarer Koordinaten auch in allgemeineren Strukturen (insbesondere projektiven Inzidenzebenen), denen kein Vektorraum und damit kein Körper als Koordinatenbereich zugeordnet werden kann.

Definition

Im Standardmodell

Im Standardmodell eines projektiven Raumes mit der Dimension n über einem Körper K, des Raumes KPⁿ, ist ein Punkt P ein eindimensionaler linearer Unterraum U_P des Vektorraums K^{n + 1}:

$P=U_P=\lbrace r\cdot \vec{p}:\; r\in K\rbrace;\quad \vec{p} \in K^{n+1}\setminus\lbrace 0\rbrace$.

Der Unterraum U_P und damit der Punkt P ist also durch den Vektor $\vec{p}\neq 0$ eindeutig bestimmt, umgekehrt ist der Vektor durch den Punkt nur „bis auf skalare Vielfache“ bestimmt. Im Standardmodell genügt es, n + 1 linear unabhängige Vektoren $\mathcal{B}=(\vec{e}_0, \vec{e}_1, \ldots,\vec{e}_n )$ als Basis des Vektorraums K^{n + 1} zu wählen, jede solche Basis erlaubt dann eine Darstellung jedes Vektors $\vec{p}\neq 0$ und damit des ihm zugeordneten Punktes P:

$\vec{p}=p_0\cdot \vec{e}_0 + p_1\cdot \vec{e}_1+\cdots p_n\cdot \vec{e}_n;\quad \Rightarrow\quad P=\left[ p_0, p_1,\ldots,p_n\right]$.

Die zweite Gleichung ist dabei als Koordinatendarstellung von P bezüglich der Vektorraumbasis B zu verstehen. Wenn die Basis klar ist, steht diese Gleichung also abkürzend für

$P=\lbrace r\cdot \left( p_0\cdot \vec{e}_0 + p_1\cdot \vec{e}_1+\cdots p_n\cdot \vec{e}_n\right):\; r\in K\rbrace.$

Einheitspunkt

Wenn an Stelle einer Vektorraumbasis $\mathcal{B}=(\vec{e}_0, \vec{e}_1, \ldots,\vec{e}_n )$ nur die von den Basispunkten erzeugten Unterräume $U_{\vec{e}_j}$ angegeben werden, also die projektiven Punkte, die zu den Basisvektoren gehören, dann lassen sich daraus die Basisvektoren nur noch bis auf skalare Vielfache zurückgewinnen und die Koordinatendarstellung $P=\left[ p_0, p_1,\ldots,p_n\right]$ verliert ihre Eindeutigkeit. Um diese zu gewährleisten, wird zu den Basispunkten $B_j=U_{\vec{e}_j}$ ein zusätzlicher Punkt E = B_{n + 1} als Einheitspunkt hinzugefügt, wobei der Unterraum, der zum Einheitspunkt gehört, von $\vec{e}_{n+1}=\vec{e}_0+\vec{e}_1+\cdots + \vec{e}_n$ erzeugt wird.

Punktbasis im Standardmodell

Die projektiven Punkte, die zu einer Vektorraumbasis $\mathcal{B}=(\vec{e}_0, \vec{e}_1, \ldots,\vec{e}_n )$ gehören, also die von diesen Basisvektoren erzeugten eindimensionalen Unterräume

$B_j=\lbrace r\cdot \vec{e_j}:\; r\in K\rbrace;\quad 0\leq j\leq n$

bilden zusammen mit dem Einheitspunkt

$E=B_{n+1}=\lbrace r\cdot \left( \vec{e}_0 + \vec{e}_1+\cdots \vec{e}_n\right):\; r\in K\rbrace$

eine projektive Punktbasis $\mathcal{B}_p=(B_0, B_1, \ldots, B_n, B_{n+1} )$ des projektiven Raumes KPⁿ.

Übertragung auf andere Modelle

Jeder n-dimensionale projektive Raum $\mathcal{P}$ über einem Körper K ist isomorph zu KPⁿ. Ist der Isomorphismus $\sigma: \mathcal{P}\cong KP^n$ von projektiven Räumen fest gewählt, dann kann man in $\mathcal{P}$ eine projektive Punktbasis $\mathcal{B}_p$ wählen und damit jeden Punkt P dieses Raumes mit Koordinaten versehen, indem man die Koordinaten von σ(P) bezüglich der Basis $\sigma(\mathcal{B}_p)$ im Standardmodell bestimmt. Durch den Einheitspunkt der Basis wird gewährleistet, dass im Vektorraum K^{n + 1} jedem (eindimensionalen) Unterraum $\sigma(B_j); 0\leq j\leq n$ das „richtige“ erzeugende Element als Basisvektor zugeordnet wird. Als Punktbasis $\mathcal{B}_p$ kann eine geordnete Menge von n + 2 Punkten aus $\mathcal{P}$ genau dann dienen, wenn die Punkte allgemeine Lage haben.

Allgemeine Lage

Man bezeichnet die Lage von n + 2 Punkten $M=\lbrace B_0, B_1,\ldots B_{n+1}\rbrace$ in einem n-dimensionalen projektiven Raum $\mathcal{P}$ als allgemein, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

• Es gibt keine n + 1-elementige Teilmenge von M die in einem echten Unterraum von $\mathcal{P}$ liegt,
• Jede n + 1-elementige Teilmenge von M hat $\mathcal{P}$ als Verbindungsraum,
• Je n + 1 der Vektoren, die die Punkte im Standardmodell erzeugen, sind linear unabhängig.

Man sagt dann auch, die Punkte $B_0, B_1,\ldots B_{n+1}$ haben allgemeine Lage.

Allgemeine Lage in wichtigen Spezialfällen

• n = 1: 3 Punkte auf einer projektiven Geraden sind in allgemeiner Lage, wenn sie verschieden sind.
• n = 2: 4 Punkte auf einer projektiven Ebene sind in allgemeiner Lage, wenn keine 3 davon auf einer Geraden liegen. Die vier Punkte bestimmen also ein vollständiges Viereck.
• n = 3: 5 Punkte in einem dreidimensionalen projektiven Raum sind in allgemeiner Lage, wenn keine 4 davon auf einer Ebene liegen.

Projektive Punktbasis

In einem n-dimensionalen projektiven Raum bilden n + 2 Punkte in allgemeiner Lage eine Projektive Punktbasis.

Projektive Koordinaten in der synthetischen Geometrie

Eine projektive Punktbasis (B₀,B₁,B₂,E) (rot) bestimmt eine eindeutige affine Punktbasis (O = B₀,E₁,E₂) (grün), wobei die Verbindungsgerade u = B₁B₂ zur Ferngeraden wird.

In einer beliebigen, auch nichtdesargueschen projektiven Ebene können projektive Koordinaten mit Hilfe affiner Koordinaten eingeführt werden. Dazu wird in der projektiven Ebene eine projektive Punktbasis (B₀,B₁,B₂,E) gewählt. Der Punkt B₀ wird zum Ursprung O = B₀ des affinen Koordinatensystems, die Verbindungsgerade B₀B₁ zu seiner ersten, B₀B₂ zu seiner zweiten Koordinatenachse. Die zunächst noch projektiven Schnittpunkte $E_1=EB_2\cap OB_1$ und $E_2=EB_1\cap OB_2$ sind die Einheitspunkte auf diesen Achsen, somit ist (O,E₁,E₂) eine affine Punktbasis der affinen Ebene, die aus der projektiven durch Schlitzen längs der Gerade u = B₁B₂ entsteht. Diese Gerade wird zur Ferngerade der affinen Ebene, siehe dazu auch die Abbildung rechts.

• Für jeden Punkt der geschlitzten Ebene können durch Koordinatenkonstruktion affine Koordinaten $(x_1;x_2)\in K^2$ bestimmt werden, wobei der Koordinatenbereich K durch die erste Achse des affinen Koordinatensystems repräsentiert wird. → Die Koordinatenkonstruktion ist im Artikel Ternärkörper beschrieben.
• Ein Punkt außerhalb von u mit den affinen Koordinaten (x₁;x₂) erhält die projektiven Koordinaten (1;x₁;x₂).
• Ein Punkt U auf der Ferngeraden u erhält die projektiven Koordinaten (0;x₁;x₂), wobei (x₁;x₂) die affinen Koordinaten irgendeines Punktes (außer O und U) auf der Verbindungsgerade OU sind.

Die so bestimmten Koordinaten sind für Punkte außerhalb von u eindeutig, für Punkte auf u kann diese Eindeutigkeit durch zusätzliche Vereinbarungen erreicht werden. Sie sind im allgemeinen nicht homogen: Im Koordinatenbereich K, der ein Ternärkörper ist, lässt sich im allgemeinen keine „Skalarmultiplikation“ definieren.

Anwendungen

Abbildungen

Wenn P und Q projektive Räume der Dimension n bzw. m über einem festen Körper K sind, dann gilt:

• Jede projektive Abbildung π von P nach Q besitzt bezüglich fest gewählter projektiver Punktbasen in P und Q eine Darstellung $\pi: \left[x_0,\ldots,x_n\right]^T \rightarrow \left[ (A\cdot (x_0,\ldots,x_n)^T)\right]^T$. Die Abbildungsmatrix A hat n + 1 Zeilen und m + 1 Spalten und ist bis auf einen skalaren Faktor $r\in K\setminus\lbrace{0}\rbrace$ eindeutig bestimmt.
• Wählt man zu jedem Punkt $B_j (0\leq j\leq n+1)$ einer projektiven Punktbasis von P oder gleichwertig zu n + 2 Punkten in allgemeiner Lage, jeweils einen beliebigen Bildpunkt $C_j\in Q$, dann lässt sich dies eindeutig zu einer projektiven Abbildung $\pi: P\rightarrow Q$ fortsetzen, bei der also π(B_j) = C_j für jeden Basispunkt gilt.
• Jede Projektivität π auf P besitzt bezüglich einer fest gewählten projektiven Punktbasis in P eine Darstellung $\pi: \left[x_0,\ldots,x_n\right]^T \rightarrow \left[ (A\cdot (x_0,\ldots,x_n)^T)\right]^T$. Die quadratische, reguläre $(n+1)\times (n+1)$ Abbildungsmatrix A ist bis auf einen skalaren Faktor $r\in K\setminus\lbrace{0}\rbrace$ eindeutig bestimmt.
• Zu n + 2 Urbildpunkten $B_j (0\leq j\leq n+1)$ in allgemeiner Lage und n + 2 Bildpunkten $C_j (0\leq j\leq n+1)$ in allgemeiner Lage gibt es genau eine Projektivität π auf P, bei der $\pi(B_j)=C_j, (0\leq j\leq n+1)$ ist. Man sagt daher auch, die projektive lineare Gruppe $\operatorname{PGL}(n+1,K)$ operiert scharf einfach transitiv auf der Menge der n + 2-Tupel von Punkten in allgemeiner Lage.
• Ist die Dimension $n\geq 2$, dann lässt sich jede Kollineation κ auf P bezüglich einer fest gewählten projektiven Punktbasis in P als Komposition $\kappa =\pi \circ \sigma$ mit einer Projektivität π und einem Automorphismus σ des Körpers K darstellen.

Doppelverhältnis

Das Doppelverhältnis von vier kollinearen Punkten P,Q,R,S in einem projektiven Raum ist das einfache Verhältnis der projektiven Koordinaten, die der Punkt P hat, wenn die übrigen drei Punkte als Punktbasis der gemeinsamen Geraden gewählt werden. Dabei sind $B_0=R,\, B_1=S$ die Basispunkte und E = B₂ = Q der Einheitspunkt des Koordinatensystems. Hat nun P bezüglich dieses Systems die Koordinatendarstellung $P=\left[p_0;p_1\right]$, dann gilt für das Doppelverhältnis: $t=\operatorname{DV}(PQRS)=\frac{p_1}{p_0}$. Dieser Zusammenhang ist einer der Gründe dafür, dass das Doppelverhältnis $t\in K\cup\lbrace \infty\rbrace$ auch gelegentlich als inhomogene projektive Koordinate von P (bezüglich der anderen Punkte im Doppelverhältnis) bezeichnet wird.^[1]

Parametergleichungen

• Die Verbindungsgerade von zwei verschiedenen Punkten $A=\left[ a_0; a_1;\ldots a_n\right]$ und $B=\left[ b_0; b_1;\ldots b_n\right]$ hat die homogene Parameterdarstellung

$\langle A,B\rangle:\; \vec{x}= \alpha \cdot \begin{pmatrix}a_0 \\ a_1 \\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}+ \beta \cdot \begin{pmatrix}b_0 \\ b_1 \\ \vdots\\ b_n\end{pmatrix}$

Dabei sind dann $\vec{x}$ für $(\alpha;\beta)\in K^2\setminus \lbrace 0\rbrace$ die projektiven Koordinaten eines Geradenpunktes $X=\left[ \vec{x}^{\,T}\right]$

• Allgemeiner ist der Verbindungsraum von k Punkten $A_j=\left[ {\vec{a}_j}^{T}\right];\;1\leq j\leq k$, deren Koordinatenvektoren linear unabhängig sind, ein k − 1-dimensionaler Unterraum des projektiven Raumes mit der Parameterdarstellung

$\langle A_1,A_2,\ldots A_k \rangle: \vec{x}=\sum_{j=1}^k \alpha_j \vec{a}_j;\quad (\alpha_1,\alpha_2,\ldots \alpha_k)\in K^k\setminus \lbrace 0\rbrace.$

Koordinatengleichungen und Hyperebenenkoordinaten

Nach der Wahl einer projektiven Punktbasis $\mathcal{B}_p$ in einem n-dimensionalen projektiven Raum $\mathcal{P}$ kann man jedem Punkt $P=\left[ p_0; p_1;\ldots p_n\right]$ eindeutig die Koordinatengleichung $p_0\cdot x_0+p_1\cdot x_1+\cdots +p_n\cdot x_n=0\;$ zuordnen, deren Lösungsmenge, als Punktkoordinaten aufgefasst, einen n − 1-dimensionalen Unterraum von $\mathcal{P}$, also eine Hyperebene beschreibt. Da die Gleichung homogen ist, ändert sich ihre Lösungsmenge nicht, wenn man jede Koordinate mit dem gleichen Skalar $r\in K^*$ multipliziert, die Hyperebene hängt also nur vom Punkt P und dem gewählten projektiven Koordinatensystem ab. Man bezeichnet den Koordinatenvektor $P^D=\left[ p_0; p_1;\ldots p_n\right]^D$ als Hyperebenenkoordinaten dieser Hyperebene. Jedem Punkt des Raumes wird so durch Dualisierung $P\rightarrow P^D$ eineindeutig eine Hyperebene zugeordnet.

Dualität in projektiven Räumen

Die duale Zuordnung von Punkten zu Hyperebenen kann zu einer Dualität im Verband der projektiven Teilräume eines Projektiven Raumes ausgebaut werden. Dabei gelten folgende Zuordnungen:

Begriff	Dualer Begriff
Punkt	Hyperebene
Gesamtraum	Leere Menge als − 1-dimensionaler Teilraum
k-dimensionaler Teilraum	n − 1 − k-dimensionaler Teilraum
Schnitt $S \cap T$ von zwei Teilräumen	Verbindungsraum $S^D \vee T^D$ von zwei Teilräumen
Doppelverhältnis von vier kollinearen Punkten	Doppelverhältnis von vier Hyperebenen, die sich in einem n − 2-dimensionalen Teilraum schneiden

Die Zuordnung ist auch umgekehrt zu verstehen, da die Dualisierung involutorisch ist: Einer Hyperebene entspricht dual ein Punkt. Während die konkrete Dualisierung vom gewählten Koordinatensystem abhängt, sind allgemeine Sätze davon nicht betroffen.

Das Dualitätsprinzip der projektiven Geometrie beruht auf dem algebraischen Dualraum des endlichdimensionalen Koordinatenvektorraums K^{n + 1}, siehe dazu den Hauptartikel „Dualraum“. Anwendungsbeispiele in der ebenen Geometrie finden sich in „Dualität (Mathematik)“ im Abschnitt „Dualitätsprinzip der projektiven Geometrie“.

Dreidimensionale Beispiele

In einem dreidimensionalen Raum KP³ ist die Menge der Geraden (eine Gerade entspricht einem 2-dimensionalen Unterraum von K⁴) zu sich selbst dual. Die konkrete Gerade

$g=\langle e_0,e_1 \rangle =\lbrace \left[r,s,0,0\right]:\;(r,s)\in K^2\setminus \lbrace 0\rbrace\rbrace$

ist dual zu

$g^D=\lbrace\left[x_0,x_1,x_2,x_3\right]: (x_0,x_1,x_2,x_3)\in K^4\setminus \lbrace 0\rbrace, x_0=x_1=0\rbrace =\langle e_2,e_3 \rangle$

Dies ist eine zu g windschiefe Gerade! Die Aussage „Die Geraden g und g^D schneiden einander nicht.“ ist dual zu „Der Verbindungsraum von g^D und g ist der gesamte dreidimensionale Raum.“ Für zwei beliebige windschiefe Geraden g und h kann stets eine Punktbasis gewählt werden, bezüglich der g^D = h gilt – man wählt zu jeder Geraden zwei linear unabhängige, erzeugende Vektoren und ergänzt diese vier Vektoren durch ihre Summe als Einheitspunkt. Also sind die Aussagen „Zwei Geraden schneiden einander nicht“ und „Zwei Geraden spannen den Raum auf“ zueinander duale Beschreibungen der Eigenschaft „windschief“.

Dagegen sind die Aussagen „g und h schneiden sich in einem Punkt“ und „g und h spannen eine Ebene auf“ äquivalent aber nicht dual zueinander, da die erste Aussage nicht für beliebige Paare von Geraden gilt und die dazu duale Aussage von anderen Geraden handelt!

Literatur

• Harold Scott MacDonald Coxeter: Reelle projektive Geometrie der Ebene, München 1955
• Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band II, Vieweg 1980, ISBN 3-528-13057-1
• Günter Pickert: Projektive Ebenen. 2. Auflage, Berlin-Heidelberg-New York 1975

Einzelnachweise

1. ↑ Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band II, S. 153, Vieweg 1980, ISBN 3-528-13057-1