Boltzmann-Konstante

Die Boltzmann-Konstante (Formelzeichen $k \,$ oder $k_\mathrm{B} \,$) ist eine Naturkonstante, die in den Grundgleichungen der statistischen Mechanik eine zentrale Rolle spielt. Sie wurde von Max Planck eingeführt und nach dem österreichischen Physiker Ludwig Boltzmann, einem der Begründer der statistischen Mechanik, benannt^[1]. Sie ist nicht mit der Stefan-Boltzmann-Konstante zu verwechseln.

Ideen von Ludwig Boltzmann präzisierend ^[2], lautet die von Max Planck gefundene fundamentale Beziehung ^[3] für die Entropie:

$S = k_\mathrm{B} \, \ln \Omega \,.$

Die Entropie S eines Makrozustandes ist proportional dem natürlichen Logarithmus der Zahl Ω der entsprechend möglichen Mikrozustände, bzw. die Entropie eines Makrozustandes ist proportional dem Maß seiner „Unordnung“. Eine Entropiezunahme entspricht einem Übergang in einen neuen Makrozustand mit einer größeren Zahl möglicher Mikrozustände. In einem abgeschlossenen (isolierten) System nimmt die Entropie stets zu (Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik).

Die dabei auftretende Proportionalitätskonstante k_B (manchmal auch einfach k geschrieben), die Boltzmann-Konstante, ist universal gültig und hat die Dimension Energie/Temperatur.

Der Wert der Boltzmann-Konstante beträgt:^[4][5]

$\begin{align} k_\mathrm{B} &= 1{,}380\;6488\;(13) \cdot 10^{-23} \mathrm{J}/\mathrm{K} \\ &= 8{,}617\;3324\;(78) \cdot 10^{-5} \mathrm{eV}/\mathrm{K} \end{align}$

Ideales Gasgesetz

Die Boltzmann-Konstante erlaubt die Berechnung der mittleren thermischen Energie eines Teilchens aus der Temperatur und tritt beispielsweise im Gasgesetz für ideale Gase auf:

Die Boltzmann-Konstante ist eine der möglichen Proportionalitätskonstanten des idealen Gasgesetzes

$p V = N \, k \, T$.

Bedeutung der Formelzeichen:

• p – Druck
• V – Volumen
• N – Teilchenanzahl
• T – Absolute Temperatur

Aus der Boltzmann-Konstante berechnet sich die auf ein Mol bezogene Universelle Gaskonstante R = N_A · k mittels der Avogadro-Konstanten N_A.

Die Gasgleichung kann auch bezogen auf Normalbedingungen mit der Temperatur T₀ und dem Druck p₀ mit der Loschmidt-Konstante N_L umformuliert werden zu

$n = \frac{N}{V} = \frac{1}{k} \frac{p}{T} = N_\mathrm{L} \left(\frac{T_{0}}{p_{0}}\right) \left(\frac{p}{T}\right)$.

In 3 Dimensionen gilt für die mittlere Kinetische Energie eines (klassischen) punktförmigen Teilchens im thermischen Gleichgewicht:

$\langle E_{\rm kin}\rangle =\frac{3}{2} k T$

Allgemeiner ergibt sich für die Energie eines Teilchen mit f Freiheitsgraden, die quadratisch in die Hamiltonfunktion eingehen (Äquipartitionstheorem):

$\langle E_{\rm kin}\rangle =\frac{f}{2} k T$

So hat beispielsweise ein punktförmiges Teilchen 3 Translationsfreiheitsgrade, ein zweiatomiges Molekül hat zusätzlich 2 Rotationsfreiheitsgrade (durch Rotation entlang der 3. Achse − der Symmetrieachse − kann keine Energie gespeichert werden, da das Trägheitsmoment hier vergleichsweise klein ist). Ein Molekül ohne eine solche Symmetrie hat 3 Rotationsfreiheitsgrade, also insgesamt 6. Dazu kommen bei ausreichend hohen Temperaturen noch Schwingungen der Bindungen. So hat Wasser eine extrem hohe Wärmekapazität durch eine große Zahl solcher Schwingungsfreiheitsgrade.

Durch die Boltzmann-Konstante wird also die mittlere kinetische Energie eines Teilchens im thermischen Gleichgewicht angegeben, mit einem Wert von 1/2 k T pro Freiheitsgrad.

Rolle der Boltzmann-Konstante in der statistischen Physik

Allgemeiner tritt die Boltzmann-Konstante in der Wahrscheinlichkeitsdichte beliebiger Systeme der Statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht auf: Die thermische Wahrscheinlichkeitsdichte solcher Systeme bei der Thermodynamischen Temperatur T lautet $e^{-\frac{E}{k T}}/Z$ mit einer Normierungskonstanten Z, wobei E die Energie ist. Die Normierungskonstante Z wird auch Zustandssumme genannt. Der Term $e^{-\frac{E}{k T}}$ heißt auch Boltzmann-Faktor.

Zusammenhang mit der Entropie

Grabstein von Boltzmann

In der statistischen Physik kann die Entropie S eines abgeschlossenen Systems im thermischen Gleichgewicht definiert werden als der natürliche Logarithmus aus der Zustandssumme Ω, welche die Gesamtanzahl der einzelnen mikroskopischen Zustände ausdrückt, als:

$S = k_\mathrm{B} \, \ln \Omega \,$

Diese Gleichung verknüpft über die Boltzmannkonstante die mikroskopischen Zustände Ω des abgeschlossenen System in Bezug zu der makroskopischen Größe der Entropie S und stellt die zentrale Grundlage der statischen Physik dar. Diese Gleichung, in leicht abgewandelter Nomenklatur, ist im Grabstein von Ludwig Boltzmann am Wiener Zentralfriedhof eingraviert.

Die Entropieänderung ΔS ist in der klassischen Thermodynamik definiert als:

$\Delta S = \int \frac{{\rm d}Q}{T}$

In Bezug zu der mikroskopischen Zustandssumme kann die Entropie auch als dimensionslose Größe festgelegt werden als:

${S^{\,'} = \ln \Omega} \; ; \; \; \; \Delta S^{\,'} = \int \frac{\mathrm{d}Q}{k_\mathrm{B}T}$

In dieser „natürlichen“ Form der Entropie korrespondiert sie mit der Definition der Entropie in der Informationstheorie und stellt ein zentrales Mass in der Informationstheorie dar. Der dabei auftretende Term k_BT mit der Boltzmannkonstante stellt jene Energie dar, um die Entropie S′ um ein Nit anzuheben.

Beispiel aus der Festkörperphysik

In Halbleitern besteht eine Abhängigkeit der Spannung über einen p-n-Übergang, der mit Hilfe der Temperaturspannung ϕ_T oder U_T beschrieben werden kann:

$\varphi_T = U_T = \frac{k \,T}{e}$

Dabei ist T die absolute Temperatur in Kelvin, k die Boltzmann-Konstante und e die Elementarladung. Bei Raumtemperatur (T = 300 K) beträgt der Wert der Temperaturspannung ungefähr 25 mV oder 1/40 V. Siehe auch Diode.

Anwendungsbereiche

• Plancksches Strahlungsgesetz
• Maxwell-Boltzmann-Verteilung
• Nernst-Gleichung
• Gibbs-Thomson-Effekt
• Johnson-Rauschen
• Rauschzahl
• Desorption
• Rauschtemperatur
• Heißleiter
• Fugazität
• Dopplertemperatur
• Curie-Konstante
• Debye-Temperatur
• Debye-Länge
• Jeans-Kriterium
• Hawking-Strahlung
• Durchbruchspannung
• Lawson-Kriterium

Siehe auch

• Kinetische Gastheorie

Quellen

1. ↑ „… where k is Boltzmann’s constant, introduced at that time by Planck, …“, wobei sich that time auf die Formulierung des Rayleigh-Jeans-Gesetzes (dem Grenzfall seiner Strahlungsformel für kleine Frequenzen) im Jahr 1900 bezieht. M. Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics, New York, 1966, S. 17. Dieses Gesetz ermöglicht auch die experimentelle Bestimmung der Boltzmann-Konstante.
2. ↑ Die untenstehende Formel für die Entropie findet sich zwar auf Boltzmanns Grabstein, steht aber nirgendwo explizit in seinen Werken. Er hat aber den Zusammenhang zwischen Entropie und der Zahl der Zustände klar erkannt, z. B. in den Sitzungsberichten der Wiener Akademie 1877 oder den Vorlesungen über Gastheorie, Bd.1, 1895, S. 40, siehe Ingo Müller A history of thermodynamics, Springer, S.102
3. ↑ M. Planck: „Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum“, Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft 2(1900) Nr. 17, S. 245, Berlin (vorgetragen am 14. Dezember 1900) Onlinedokument (engl. Übersetzung)
4. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juni 2011.  Wert für die Boltzmann-Konstante in der Einheit J/K
5. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juni 2011.  Wert für die Boltzmann-Konstante in der Einheit eV/K

Weblinks

• CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants beim NIST