Erneuerungsprozess

Ein Erneuerungsprozess ist ein spezieller stochastischer Prozess. Er ist ein Zählprozess, dessen Zwischenankunftszeiten unabhängige, identisch verteilte, nichtnegative Zufallsvariablen sind.

Begriffsherkunft

Der Begriff Erneuerung hat seinen Ursprung in industriellen Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Typischerweise besitzen Systemkomponenten (z. B. Maschinen, Werkzeuge, Beleuchtungskörper) Lebenszeiten, die den Charakter nichtnegativer Zufallsvariablen haben. Wenn solche Komponenten ausfallen, müssen sie ersetzt werden (erneuert) durch gleichartige Komponenten, um das Funktionieren des Systems zu gewährleisten.

Eigenschaften

$\{N(t), t\ge 0\}$ sei ein Erneuerungsprozess. N(t) ist die Anzahl der Erneuerungen bis zum Zeitpunkt t.

$X_i, i=1,2,\ldots$ seien die Zwischenankunftszeiten, z. B. die Lebenszeiten von Komponenten.

$(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ wird als Erneuerungsfolge bezeichnet.

Ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung werde mit F bezeichnet.

Es gilt $F(t)=P(X_i\le t)$.

S_n ist der Zeitpunkt der n-ten Erneuerung.

Dieser stochastische Prozess $\{S_n, n=0,1,\ldots\}$ erfüllt

$S_n=\sum_{i=1}^n X_i,\qquad S_0\equiv 0.$

Die Verteilung von S_n werde mit F_n bezeichnet.

Die Äquivalenz der Beschreibung über N(t) und S_n kommt zum Ausdruck in der grundlegenden Beziehung

$\{N(t)\ge n\}=\{S_n\le t\}$

S_n ist Summe identisch verteilter, unabhängiger Zufallsvariablen, daher ist F_n die n-fache Faltung der Verteilung F, und es gilt:

$\begin{matrix} P(N(t)=n) &=& P(S_n\le t)-P(S_{n+1}\le t)\\ &=& F_n(t)-F_{n+1}(t) \end{matrix}$

Die mittlere Anzahl der Erneuerungen im Zeitintervall (0,t) heißt Erneuerungsfunktion und wird mit M bezeichnet. Es gilt

$M(t)=E[N(t)] = \sum_{n=1}^\infty n\left[F_n(t)-F_{n+1}(t)\right]=\sum_{n=1}^\infty F_n(t) \,$