Erste Variation

In der angewandten Mathematik und in der Variationsrechnung, ist die erste Variation des Funktionals J(y) definiert als

$\delta J(y)(h)= \left.\frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\right|_{\varepsilon = 0},$

wobei $J(y): X\rightarrow \R$ ein Funktional, sowie $y,h\in X$ Funktionen im Funktionenraum X, und ε ein Skalar ist (gesprochen: die erste Variation von J nach y).

Alternative Definition

Eine alternative Definition, welche auch häufiger in der theoretischen Physik, vor allem aber in der Feldtheorie anzutreffen ist, lautet wie folgt:

Sei ${\mathcal D}(\Omega)$ ein Raum von Testfunktionen über Ω und

$F\colon \Omega \rightarrow \mathbb{K} \quad \mbox{wobei} \quad \mathbb{K} = \mathbb{R}\ \mbox{oder}\ \mathbb{K} = \mathbb{C}$

ein lineares Funktional.

Die erste Variation (manchmal auch als Funktionalableitung bezeichnet) δF / δφ von F ist definiert als jene Distribution aus ${\mathcal D}^\prime(\Omega)$ welche

$\left\langle \frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta\varphi(x)}, f(x) \right\rangle = \int \frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta\varphi(x')} f(x')dx' = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\varphi(x)+\varepsilon f(x)]-F[\varphi(x)]}{\varepsilon} = \left.\frac{d}{d\epsilon}F[\varphi+\epsilon f]\right|_{\epsilon=0} \quad \forall f\in{\mathcal D}(\Omega)$

erfüllt. Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines Gradienten, wobei durch die Notation $\tfrac{\delta}{\delta\varphi(x)}$ ausgedrückt werden soll, dass die Ableitung in Richtung einer Testunktion $\varphi(x) \in {\mathcal D}(\Omega)$ stattfindet.

Eigenschaften

1. Die erste Variation ist eine lineare Abbildung:

   $\delta(F(y)+\alpha G(y))(h) = \delta F(y)(h) + \alpha\delta G(y)(h)\quad\forall\alpha\in\mathbb{K}, \forall F,G\in{\mathcal D}^\prime(\Omega)$

2. Für ein Produkt aus Funktionalen F(y) = G(y)H(y) gilt die Produktregel:

   $\delta F(y)(h)=\delta G(y)(h)\ H(y) +G(y)\ \delta H(y)(h)$

Beispiel

Die erste Variation von

$J(y)=\int_a^b yy' dx.$

Nach der Definition oben ist,

$\begin{align} \delta J(y)(h)&=\left.\frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\right|_{\varepsilon = 0}\\ &= \left.\frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (y + \varepsilon h)(y^\prime + \varepsilon h^\prime) \ dx\right|_{\varepsilon = 0}\\ &= \left.\frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\right|_{\varepsilon = 0}\\ &= \left.\int_a^b \frac{d}{d\varepsilon} (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\right|_{\varepsilon = 0}\\ &= \left.\int_a^b (yh^\prime + y^\prime h + 2\varepsilon hh^\prime) \ dx\right|_{\varepsilon = 0}\\ &= \int_a^b (yh^\prime + y^\prime h) \ dx \end{align}$

Siehe auch

• Hamiltonsches Prinzip
• Euler-Lagrange-Gleichung
• Variation
• Totale Ableitung
• Fréchet-Ableitung
• Gâteaux-Differential

Weblinks

• Exampleproblems.com hat mehr Beispiele.