Testfunktion

Testfunktionen sind glatte (d. h. unendlich oft differenzierbare) Funktionen mit kompaktem Träger. Sie spielen in der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle, zum Beispiel in der Theorie der Distributionen und bei der Definition der schwachen Ableitung.

Definition

Der Graph einer Testfunktion in zwei Variablen

Die Funktion φ_b für b = 1

Man bezeichnet mit

$C_c^{\infty}(\Omega) = \{ \phi \in C^{\infty}(\Omega) \,|\, \operatorname{supp}\,(\phi) \mathrm{~ist~kompakte~Teilmenge~von~} \Omega \}$

die Menge aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die einen kompakten Träger haben, also außerhalb einer kompakten Menge gleich null sind.

Um den Raum der Testfunktionen zu erhalten, wird auf diesem Funktionenraum noch eine Topologie definiert. Diese Topologie erhält man aus einem Konvergenzbegriff, der auf diesem Raum definiert wird. Eine Funktionenfolge $(\phi_j)_{j\in \mathbb{N}}$ mit $\phi_j \in C_c^\infty(\Omega)$ konvergiert gegen $\ \phi$, wenn es ein Kompaktum $K \subset \Omega$ gibt mit $\operatorname{supp}(\phi_j) \subset K$ für alle j und

$\lim_{j \rightarrow \infty} \sup_{x\in K} \left| \frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha} \left( \phi_j (x) - \phi(x) \right) \right| = 0$

für alle Multiindizes $\alpha \in \N^n$ gilt.

Der Raum $C_c^\infty(\Omega)$, zusammen mit diesem Konvergenzbegriff, wird mit ${\mathcal D}(\Omega)$ notiert und heißt Raum der Testfunktionen.

Beispiel

Ein Beispiel einer Testfunktion mit kompaktem Träger [ − b,b] ist

$\phi_{b}(x)=\begin{cases}\exp\frac{b^{2}}{x^{2}-b^{2}} & |x|<b\\0 & |x|\geq b.\end{cases}$

Eigenschaften

Sei $\Omega \subset \R^n$ eine offene Teilmenge von $\R^n$.

• Dann ist der Testfunktionenraum ein lokalkonvexer Vektorraum, genauer ein (LF)-Raum.
• Der Testfunktionenraum $\mathcal{D}(\Omega)$ erfüllt die Heine-Borel-Eigenschaft.
• Der Raum $\mathcal{D}(\Omega)$ ist ein Unterraum des Schwartz-Raums. Ist Ω außerdem beschränkt, so liegt er im Schwartz-Raum dicht, und somit auch dicht in L^p(Ω) für $1 \leq p < \infty$.

Distributionentheorie

→ Hauptartikel: Distributionentheorie

Der topologische Dualraum von $\mathcal{D}$ wird mit $\mathcal{D}'$ bezeichnet. Der Raum $\mathcal{D}'$ ist also der Raum aller linearen, stetigen Funktionale von $\mathcal{D}$ nach $\C$. Dieser heißt Raum der Distributionen.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6