Euklidische Metrik

Der euklidische Abstand ist ein Begriff, der den Abstand zweier Punkte der Ebene oder des Raumes verallgemeinert.

Euklidischer Raum

Im dreidimensionalen Raum stimmt der euklidische Abstand d(x,y) mit dem anschaulichen Abstand überein. Im allgemeineren Fall des n-dimensionalen euklidischen Raumes $\mathbb{R}^n$ ist er für zwei Punkte oder Vektoren definiert durch die euklidische Norm $\|x-y\|_2$ des Differenzvektors zwischen den beiden Punkten. Sind die Punkte x und y gegeben durch die Koordinaten $x=(x_1, \ldots, x_n)$ und $y=(y_1, \ldots, y_n)$, so gilt:

$d(x,y) = \|x-y\|_2 = \sqrt{(x_{1} - y_{1})^2 + \cdots + (x_{n} - y_{n})^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}$

Ein bekannter Spezialfall der Berechnung eines euklidischen Abstandes für n = 2 ist der Satz des Pythagoras.

Der euklidische Abstand ist eine Metrik und erfüllt insbesondere die Dreiecksungleichung. Neben dem euklidischen Abstand gibt es eine Reihe weiterer Abstandsmaße.

Da der euklidische Abstand von einer Norm herrührt, nämlich der euklidischen Norm, ist er translationsinvariant.

In der Statistik ist der euklidische Abstand ein Spezialfall des gewichteten euklidischen Abstands und sein Quadrat ein Spezialfall des Mahalanobis-Abstands.

Spezielle Relativitätstheorie

In der speziellen Relativitätstheorie ist der euklidische Abstand ein Distanzmaß^[1] für den vierdimensionalen, raumzeitlichen Abstand zwischen zwei Ereignissen. Sind diese Ereignisse durch die Ortskoordinaten x_i, y_i, z_i und die Zeitkoordinaten t_i (mit i = 1,2) gegeben, so ist der euklidische Abstand d definiert durch

$d = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2-(ct_1-ct_2)^2}$.

Quellen

1. ↑ http://relativity.livingreviews.org/open?pubNo=lrr-2004-9&page=articlesu4.html