Feynman-Kac-Formel

Der Satz von Feynman-Kac ist ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeitstheorie, das z. B. in der Finanzmathematik Anwendung findet. Er verbindet die Wahrscheinlichkeitstheorie mit der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Der Name geht auf Richard Feynman und Mark Kac zurück.

Herleitung

Sei zunächst X_t ein an die Filtration (F_t)_t adaptierter Prozess und Lösung der stochastischen Differentialgleichung

dX_t = σ(t,X_t)dW_t + μ(t,X_t)dt.

(X_t)_t ist daher ein Ito-Prozess. Sei ferner

$h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

eine beschränkte, Borel-messbare Funktion und $g(t,x) = \mathbb{E}(h(X_T)\mid X_t=x)$ die an die Information in t bedingte Erwartung ihres Wertes in X_T. Dann erfüllt g die partielle (nicht-stochastische!) Differentialgleichung

$g_x(t,x)\mu(t,x) + g_t(t,x) + \frac{1}{2}g_{xx}(t,x)\sigma(t,x)^2 = 0$

mit der Randbedingung $g(T,x) = h(x) \quad$.

Der Beweis verwendet die Martingaleigenschaft der bedingten Erwartung und die Tatsache, dass ein Ito-Prozess (gegeben in g) genau dann Martingal ist, wenn sein Driftterm verschwindet.

Beispiel

Zum Beispiel könnte h die Auszahlung eines Finanzinstruments (etwa Call-Option), basierend auf dem Wert von X_t (etwa eine Aktie). Dann beschreibt g den Preisprozess dieses Instruments. g_x ist die Ableitung des Preises vom Basiswert, im Fall einer Option ist daher $\frac{g_x}{g}$ ihr Delta. $\frac{g_t}{g}$ ist im Fall einer Call-Option das Theta.