Frame (Hilbertraum)

Ein Frame ist ein besonderes Erzeugendensystem eines Hilbertraumes. Ein Frame ist eine Familie von Elementen $\left\{f_j\right\}_{j \in \Z}$ eines separablen Hilbertraumes H, so dass für alle $f \in H$ die Ungleichung

$m \left|\left| f \right|\right|^2 \leq \sum_{j\in \Z} \left| \langle f, f_j \rangle \right|^2 \leq M \left|\left| f \right|\right|^2$

mit geeigneten Konstanten $0 < m \leq M$ erfüllt ist. Dies bedeutet, dass die $\ell^2$-Norm der Folge der Fourierkoeffizienten $(\langle f, f_j\rangle)_{j\in\mathbb{Z}}$ in direktem Zusammenhang mit der Norm der Funktion f steht.

Ein Frame kann als „übervollständige Basis“ interpretiert werden und findet dann Verwendung, wenn der Begriff Basis zu restriktiv ist.

Definition

Es sei H ein separabler Hilbertraum mit Skalarprodukt $\langle \cdot, \cdot\rangle$ und Norm $\left|\left| \cdot \right|\right| := \sqrt{\langle \cdot, \cdot\rangle}.$ Eine Familie $\left\{f_j\right\}_{j \in \Z} \subset H$ heißt Frame von H, wenn es $0 < m \leq M$ gibt, so dass für alle $f\in H$ die Ungleichung

$m \left|\left| f \right|\right|^2 \leq \sum_{j\in \Z} \left| \langle f, f_j \rangle \right|^2 \leq M \left|\left| f \right|\right|^2$

gilt.

Kann darin m = M gewählt werden, dann bezeichnet man den Frame als straff oder tight.

Ist obige Ungleichung speziell für m = M = 1 erfüllt, so nennt man den Frame auch Parsevalframe. In diesem Fall gilt für alle $f\in H$ die parsevalsche Gleichung

$\left|\left| f \right|\right|^2 = \sum_{j\in \Z} \left| \langle f, f_j \rangle \right|^2$.

Beispiel

• Die Vektoren $(1/2,1/2), \, (1/2,i/2), \, (1/2, -1/2),\, (1/2,-i/2)$ sind ein straffer Frame für den $\mathbb{C}^2.$

Eigenschaften

• Jedes Frame $\left\{f_j\right\}_{j \in \Z}$ ist ein Erzeugendensystem von H im folgenden (topologischen) Sinne: Es gilt $\overline{\operatorname{span}\{f_j\}} = H$.
• Jede Orthonormalbasis ist ein Parsevalframe.
• Insbesondere Parsevalframes verhalten sich ähnlich gutartig wie Orthonormalbasen, da für diese die Entwicklung $f = \sum_{j\in \Z} \langle f, f_j \rangle f_j$ gilt. Im Unterschied zu Orthonormalbasen ist diese Zerlegung jedoch nicht eindeutig, d. h., es kann auch andere Koeffizienten $\{c_j\}_{j\in\Z}$ geben mit $f = \sum_{j\in \Z} c_j f_j.$

Literatur

• Ole Christensen: An Introduction to Frames and Riesz Bases. Birkhäuser 2002, ISBN 0817642951.

Weblinks

• Frame bei PlanetMath