- Fredholm-Operator
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In der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Klasse der Fredholm-Operatoren (nach E. I. Fredholm) ein bestimmte Klasse linearer Operatoren, die man „fast“ invertieren kann. Jedem Fredholm-Operator ordnet man eine ganze Zahl zu, diese wird Fredholm-Index, analytischer Index oder kurz Index genannt.
Definition
Ein beschränkter linearer Operator
zwischen zwei Banachräumen X und Y heißt ein Fredholm-Operator, oder man sagt kurz: "A ist Fredholm", wenn
- ker A endliche Dimension hat und
endliche Kodimension in Y hat.
Dabei ist ker A der Kern von A, also die Menge
und
ist das Bild von A, also die Teilmenge
.
Die Zahl
heißt Fredholm-Index von A.
Eigenschaften
ist ein abgeschlossener Unterraum.
- Die Abbildung
-
- ist stetig bezüglich der Operatornorm und daher wegen der Diskretheit von
konstant auf Zusammenhangskomponenten.
- Nach dem Satz von Atkinson ist ein Operator
genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren B1,B2 und kompakte Operatoren K1,K2 gibt, so dass AB1 = IY − K1 und B2A = IX − K2 gilt, d.h. wenn A modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator
genau dann ein Fredholm Operator, wenn seine Klasse
in der Calkin-Algebra
invertierbar ist.
- Für jeden Fredholm-Operator A und jeden kompakten Operator K ist A + K ebenfalls ein Fredholm-Operator mit selbem Fredholm-Index wie A. Insbesondere ist jede kompakte Störung der Identität, also jeder Operator der Form I + K für einen kompakten Operator K ein Fredholm-Operator vom Index 0.
- Ist
ein Fredholm-Operator, dann gibt es nach dem Punctured Neighbourhood Theorem ein
0" border="0">, so dass für alle
mit 0 < | λ | < ε gilt:
- A − λI ist ein Fredholm-Operator;
;
;
- ind(A − λI) = ind(A).
- Jeder gleichmäßig elliptische Differentialoperator ist ein Fredholm-Operator.
- Sei
ein Lipschitz-Gebiet. Dann ist der schwache elliptische Differentialoperator mit homogenen Neumann-Randbedingungen
definiert durch
für
ein Fredholm-Operator.
Literatur
- Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6
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