Fredholmsche Alternative

In der Mathematik ist die nach Ivar Fredholm benannte Fredholm'sche Alternative ein Resultat der Fredholmtheorie. Sie kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden: als Theorem der linearen Algebra, als ein Theorem über Integralgleichungen oder als ein Theorem über Fredholm-Operatoren. Insbesondere besagt es, dass eine komplexe Zahl ungleich 0 im Spektrum eines kompakten Operators ein Eigenwert ist.

Version der linearen Algebra

In einem n-dimensionalen Vektorraum V gilt für eine lineare Abbildung $A:V\to V$ genau eins der folgenden :

1. Zu jedem Vektor v in V gibt es einen Vektor u in V so, dass Au = v. Mit anderen Worten: A ist surjektiv.
2. dim(ker A) > 0, d.h. A hat nichtrivialen Kern.

Fredholmsche Integralgleichungen

Sei K(x,y) ein integrierbarer Kern. Betrachte die homogene Fredholmsche Integralgleichung,

$\lambda \phi(x)- \int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy = 0$,

sowie die inhomogene Gleichung

$\lambda \phi(x) - \int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy = f(x)$.

Die Fredholmsche Alternative besagt nun, dass für eine komplexe Zahl $0 \neq \lambda \in \mathbb{C}$, entweder die erste Gleichung eine nichttriviale Lösung hat, oder die zweite Gleichung eine Lösung für beliebige rechte Seiten f(x) besitzt.

Eine hinreichende Bedingung, damit dieser Satz gilt, ist die Quadratintegrierbarkeit von K(x,y) auf dem Rechteck $[a,b]\times[a,b]$ (wobei a und/oder b auch plus oder minus unendlich sein dürfen).

Fredholm'sche Alternative

Aussage

Sei $K \in K(X)$ ein kompakter Operator auf X und sei $\lambda \in \C$ mit $\lambda \neq 0$. Dann ist Tx: = λx − Kx ein Fredholm-Operator mit Fredholm-Index 0. Die Fredholm'sche Alternative lautet nun:

• Entweder haben sowohl die homogene Gleichung
  λx − Kx = 0
  als auch die adjungierte Gleichung
  λx' − K'x' = 0
  nur die triviale Lösung Null und somit sind die inhomogenen Gleichungen
  λx − Kx = y
  und
  λx' − K'x' = y'
  eindeutig lösbar,
• oder die homogene Gleichung
  λx − Kx = 0
  und die adjungierte Gleichung
  λx' − K'x' = 0
  besitzen genau $n = \dim \ker(\lambda - K) < \infty$ linear unabhängige Lösungen und somit wäre die inhomogene Gleichung
  λx − Kx = y
  genau dann lösbar, wenn $y \in (\ker(\lambda - K'))^\bot$ gilt.

Im Zusammenhang mit den Integralgleichungen

Beachte, dass die Delta-Distribution die Identität der Faltung ist. Sei X ein Banachraum so beispielsweise L² und sei $T \colon X \to X$ ein Fredholm-Operator, welcher durch

$T\phi(x)= \int_a^b \lambda \delta(x-y)\phi(y) - k(x,y)\phi(y) dy = \lambda \phi(x) - \int_a^b k(x,y)\phi(y) dy,$

definiert ist, wobei $k \in L^2([a,b])$ gelten muss, um einen Fremdholm-Operator zu erhalten. So ist $\textstyle \int_a^b k(x,y)\phi(y) dy$ ein kompakter Operator und man sieht, dass diese Aussage die Aussage über die Fremdholm'schen Integralgleichungen verallgemeinert.

Die Fredholm'sche Alternative kann man dann wie folgt formulieren: Ein $\lambda \neq 0$ ist entweder ein Eigenwert von K oder es liegt in der Resolventenmenge

$\rho(\lambda; K)= (K-\lambda \operatorname{id})^{-1}$.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-72533-6