Gleichung

In der Mathematik ist eine Gleichung eine Aussage, in der die Gleichheit zweier Terme durch mathematische Symbole ausgedrückt wird. Dies wird durch das Gleichheitszeichen („=“) symbolisiert. Formal hat eine Gleichung die Gestalt

T₁ = T₂

mit zwei Termen T₁ und T₂. Gleichungen sind entweder wahr beziehungsweise erfüllt (beispielsweise 1 = 1) oder falsch (beispielsweise 1 = 2). Wenn zumindest einer der Terme T₁,T₂ von Variablen abhängig ist, liegt nur eine Aussageform vor; ob die Gleichung wahr oder falsch ist, hängt dann von den konkreten eingesetzten Werten ab. Die Werte der Variablen, für die die Gleichung erfüllt ist, heißen Lösungen der Gleichung. Sind zwei oder mehr Gleichungen angegeben, spricht man auch von einem Gleichungssystem, eine Lösung desselben muss alle Gleichungen simultan erfüllen.

Typen von Gleichungen

Gleichungen werden in vielen Zusammenhängen verwendet; dementsprechend gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Gleichungen nach unterschiedlichen Gesichtspunkten einzuteilen. Die jeweiligen Einteilungen sind zu einem großen Teil unabhängig voneinander, eine Gleichung kann in mehrere dieser Gruppen fallen. So ist es etwa sinnvoll, von einem System linearer partieller Differentialgleichungen zu sprechen.

Einteilung nach Gültigkeit

Identitätsgleichungen

→ Hauptartikel: Identität (Mathematik)

Gleichungen können allgemeingültig sein, also durch Einsetzen aller Variablenwerte aus einer gegebenen Grundmenge oder zumindest aus einer vorher definierten Teilmenge davon wahr sein. Die Allgemeingültigkeit kann entweder mit anderen Axiomen bewiesen werden oder selber als Axiom vorausgesetzt werden.

Beispiele sind:

• der Satz des Pythagoras: a² + b² = c² ist wahr für rechtwinklige Dreiecke, falls c die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite (Hypotenuse) bezeichnet
• das Assoziativgesetz: (a + b) + c = a + (b + c) ist wahr für alle natürlichen Zahlen a,b,c (Beweis durch vollständige Induktion); wahr für alle Gruppen (als Axiom)
• die erste binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b² ist wahr für alle reellen Zahlen a,b
• die eulersche Identität: $e^{i \varphi} = \cos\left(\varphi \right) + i \sin\left( \varphi\right)$ ist wahr für alle reellen φ

In diesem Zusammenhang spricht man auch von einem mathematischen Satz oder Gesetz. Zur Unterscheidung von nicht allgemeingültigen Gleichungen wird bei Identitäten statt des Gleichheitszeichens auch das Kongruenzzeichen („≡“) verwendet.

Bestimmungsgleichungen

Ist eine Gleichung nicht allgemeingültig, so gibt es gewisse Werte aus der Grundmenge, für die die Gleichung eine wahre Aussage liefert, und gewisse Werte, für die die Gleichung eine falsche Aussage liefert. Häufig besteht eine Aufgabenstellung darin, alle Elemente der Grundmenge zu bestimmen, für die die Gleichung eine wahre Aussage liefert. Diesen Vorgang bezeichnet man als Lösen der Gleichung. Zur Unterscheidung von Identitäten werden solche Gleichungen als Bestimmungsgleichungen bezeichnet. Die Menge an Werten der Variablen, für die die Gleichung wahr ist, bezeichnet man als Lösungsmenge der Gleichung. Wenn es sich bei der Lösungsmenge um die leere Menge handelt, so bezeichnet man die Gleichung als unlösbar oder unerfüllbar.

Ob eine Gleichung lösbar ist oder nicht, hängt von der betrachteten Grundmenge ab, zum Beispiel gilt:

• die Gleichung x² = 2 ist unlösbar als Gleichung über den natürlichen oder den rationalen Zahlen und besitzt die Lösungsmenge $\lbrace \sqrt{2}, - \sqrt{2} \rbrace$ als Gleichung über den reellen Zahlen
• die Gleichung x² = − 2 ist unlösbar als Gleichung über den reellen Zahlen und besitzt die Lösungsmenge $\lbrace \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i \rbrace$ als Gleichung über den komplexen Zahlen

Bei Bestimmungsgleichungen treten mitunter Variablen auf, die nicht gesucht sind, sondern als bekannt vorausgesetzt werden. Solche Variablen werden als Parameter bezeichnet. Beispielsweise lautet die Lösungsformel für die quadratische Gleichung

$x^2+px+q \; = \; 0$

bei gesuchter Unbekannte x und gegebenen Parametern p und q

$x_{1,2} \; = \; -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$.

Setzt man eine der beiden Lösungen x₁,x₂ in die Gleichung ein, so verwandelt sich die Gleichung in eine Identität, wird also für eine beliebige Wahl von p und q zur wahren Aussage. Für $4q \geq p^2$ sind hier die Lösungen reell, ansonsten komplex.

Definitionsgleichungen

Gleichungen können auch verwendet werden, um ein neues Symbol zu definieren. In diesem Fall wird das zu definierende Symbol links geschrieben, und das Gleichheitszeichen oft durch das Definitionszeichen („:=“) ersetzt oder über das Gleichheitszeichen „def“ geschrieben.

Zum Beispiel wird die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x₀ durch

$f'(x_0) := \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

definiert. Im Gegensatz zu Identitäten sind Definitionen keine Aussagen; sie sind also weder wahr noch falsch, sondern nur mehr oder weniger zweckmäßig.

Einteilung nach rechter Seite

Homogene Gleichungen

Eine Bestimmungsgleichung der Form

T(x) = 0

heißt homogene Gleichung. Ist T eine Funktion, nennt man die Lösung x auch Nullstelle der Funktion. Homogene Gleichungen spielen bei der Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme und linearer Differentialgleichungen eine wichtige Rolle. Ist die rechte Seite einer Gleichung ungleich Null, heißt die Gleichung inhomogen.

Fixpunktgleichungen

→ Hauptartikel: Fixpunkt (Mathematik)

Eine Bestimmungsgleichung der Form

T(x) = x

heißt Fixpunktgleichung und deren Lösung x nennt man Fixpunkt der Gleichung. Genaueres über die Lösungen solcher Gleichungen sagen Fixpunktsätze aus.

Eigenwertprobleme

→ Hauptartikel: Eigenwertproblem

Eine Bestimmungsgleichung der Form

T(x) = λx

heißt Eigenwertproblem, wobei die Konstante λ (der Eigenwert) und die Unbekannte $x\neq 0$ (der Eigenvektor) gemeinsam gesucht werden. Eigenwertprobleme besitzen vielfältige Einsatzbereiche in der linearen Algebra, beispielsweise bei der Analyse und Zerlegung von Matrizen, und in Anwendungsgebieten, beispielsweise der Strukturmechanik und der Quantenmechanik.

Einteilung nach Linearität

Lineare Gleichungen

→ Hauptartikel: Lineare Gleichung

Eine Gleichung der Form

$T\left(x\right) = a$

heißt linear, wenn der Term a unabhängig von x und der Term T(x) linear in x ist, also

$T\left(\lambda x + \mu y\right) = \lambda T\left( x \right) + \mu T\left( y\right)$

für Koeffizienten λ,μ gilt. Sinnvollerweise müssen die passenden Operationen definiert sein, es ist also notwendig, dass T(x) und a aus einem Vektorraum V sind, und die Lösung x aus dem gleichen oder einem anderen Vektorraum W gesucht wird.

Lineare Gleichungen sind normalerweise wesentlich einfacher zu lösen als nichtlineare. So gilt für lineare Gleichungen das Superpositionsprinzip: die allgemeine Lösung einer inhomogenen Gleichung ist die Summe einer Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung.

Wegen der Linearität ist zumindest x = 0 eine Lösung einer homogenen Gleichung. Hat eine homogene Gleichung also eine eindeutige Lösung, so hat auch eine entsprechende inhomogene Gleichung höchstens eine Lösung. Eine verwandte, aber wesentlich tiefer gehende Aussage in der Funktionalanalysis ist die Fredholmsche Alternative.

Nichtlineare Gleichungen werden oft nach der Art der Nichtlinearität unterschieden. Insbesondere in der Schulmathematik werden die nachfolgenden Grundtypen von nichtlinearen Gleichungen behandelt.^[1]

Algebraische Gleichungen

→ Hauptartikel: Algebraische Gleichung

Besteht der nichtlineare Term aus einem Polynom, so spricht man von algebraischen Gleichungen. Beispiele sind quadratische Gleichungen der Form

ax² + bx + c = 0

oder kubische Gleichungen der Form

ax³ + bx² + cx + d = 0.

Für Polynomgleichungen bis zum Grad vier gibt es allgemeine Lösungsformeln.

Bruchgleichungen

→ Hauptartikel: Bruchgleichung

Enthält eine Gleichung einen Bruchterm, bei dem die Unbekannte zumindest im Nenner vorkommt, spricht man von einer Bruchgleichung, zum Beispiel

$\frac{x+2}{x^2+3} = \frac{2}{x+1}.$

Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner, im Beispiel (x² + 3)(x + 1), lassen sich Bruchgleichungen auf algebraische Gleichungen zurückführen. Eine solche Multiplikation ist im Regelfall keine Äquivalenzumformung und es muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden, im Beispiel ist x = − 1 nicht im Definitionsbereich der Bruchgleichung enthalten.

Wurzelgleichungen

→ Hauptartikel: Wurzelgleichung

Bei Wurzelgleichungen steht die Unbekannte mindestens einmal unter einer Wurzel, beispielsweise

$\sqrt{x} = 1-x$

Wurzelgleichungen sind spezielle Potenzgleichungen mit Exponent 1 / n. Wurzelgleichungen lassen sich lösen, indem eine Wurzel isoliert wird und dann die Gleichung mit dem Wurzelexponenten n (im Beispiel ist n = 2) potenziert wird. Dieses Vorgehen wird wiederholt, bis alle Wurzeln eliminiert sind. Potenzieren mit geradzahligem Exponenten stellt keine Äquivalenzumforung dar und daher ist in diesen Fällen bei der Ermittlung der Lösung eine entsprechende Fallunterscheidung vorzunehmen. Im Beispiel führt Quadrieren zu der quadratischen Gleichung x = (1 − x)², deren negative Lösung nicht im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung liegt.

Exponentialgleichungen

Bei Exponentialgleichungen steht die Unbekannte mindestens einmal im Exponenten, zum Beispiel

2^{3x + 2} = 4^{x + 1}.

Exponentialgleichungen lassen sich durch logarithmieren lösen. Umgekehrt sind Logarithmusgleichungen, also Gleichungen, bei denen die Unbekannte als Argument einer Logarithmusfunktion auftritt, durch exponenzieren lösbar.

Trigonometrische Gleichungen

→ Hauptartikel: Trigonometrische Gleichung

Treten die Unbekannten als Argument mindestens einer Winkelfunktion auf, so spricht man von einer trigonometrischen Gleichung, beispielsweise

sin(x) = cos(x)

Die Lösungen trigonometrischer Gleichungen wiederholen sich im allgemeinen periodisch, sofern die Lösungsmenge nicht auf ein bestimmtes Intervall, etwa [0,2π), beschränkt wird. Alternativ können die Lösungen durch eine ganzzahlinge Variable k parameterisiert werden. Beispielsweise sind die Lösungen obiger Gleichung gegeben als

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$   mit   $k \in \mathbb{Z}$.

Einteilung nach gesuchten Unbekannten

Algebraische Gleichungen

→ Hauptartikel: Algebraische Gleichung

Um Gleichungen, bei denen eine reelle Zahl oder ein reeller Vektor gesucht wird, von Gleichungen, bei denen beispielsweise eine Funktion gesucht ist, zu unterscheiden, wird manchmal auch die Bezeichnung algebraische Gleichung verwendet, wobei diese Bezeichnung dann aber nicht auf Polynome eingeschränkt ist. Diese Sprechweise ist jedoch umstritten.

Diophantische Gleichungen

→ Hauptartikel: Diophantische Gleichung

Sucht man ganzzahlige Lösungen einer skalaren Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, so spricht man von einer Diophantischen Gleichung. Ein Beispiel einer kubischen Diophantischen Gleichung ist

2x³ − x² − 8x = 4,

von der ganzzahlige $x \in \mathbb{Z}$ gesucht werden, die die Gleichung erfüllen, hier die Zahlen $x=\pm 2$.

Differenzengleichungen

→ Hauptartikel: Differenzengleichung

Ist die Unbekannte eine Folge, so spricht man von einer Differenzengleichung. Ein bekanntes Beispiel einer linearen Differenzengleichung zweiter Ordnung ist

x_n − x_{n − 1} − x_{n − 2} = 0,

deren Lösung für Startwerte x₀ = 0 und x₁ = 1 die Fibonacci-Folge $1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ ist.

Funktionalgleichungen

→ Hauptartikel: Funktionalgleichung

Ist die Unbekannte der Gleichung eine Funktion, die ohne Ableitungen auftritt, so spricht man von einer Funktionalgleichung. Ein Beispiel für eine Funktionalgleichung ist

f(x + y) = f(x)f(y),

deren Lösungen gerade die Exponentialfunktionen f(x) = a^x sind.

Differentialgleichungen

→ Hauptartikel: Differentialgleichung

Wird in der Gleichung eine Funktion gesucht, die mit Ableitungen auftritt, so spricht man von einer Differentialgleichung. Differentialgleichungen treten bei der Modellierung von naturwissenschaftlichen Problemen sehr häufig auf. Die höchste auftretende Ableitung wird dabei Ordnung der Differentialgleichung genannt. Man unterscheidet:

• gewöhnliche Differentialgleichungen, bei denen nur Ableitungen nach einer einzigen Variablen auftreten, zum Beispiel die lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung

f'(x) + xf(x) = 0

• partielle Differentialgleichungen, bei denen partielle Ableitungen nach mehreren Variablen auftreten, zum Beispiel die lineare Transportgleichung erster Ordnung

$\frac{\partial f(x,t)}{\partial t} + \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} = 0$

• differential-algebraische Gleichungen, bei denen sowohl algebraische Gleichungen als auch Differentialgleichungen gemeinsam auftreten, beispielsweise die Euler-Lagrange-Gleichungen für ein mathematisches Pendel

$\begin{matrix} \ddot{x}_{1} &=&2x_{1}\lambda\\ \ddot{x}_{2} &=&2x_{2}\lambda-1\\ 0&=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1 \end{matrix}$

• stochastische Differentialgleichungen, bei denen neben deterministischen auch stochastische Ableitungsterme vorkommen, beispielsweise die Black-Scholes-Gleichung der Finanzmathematik zur Modellierung von Wertpapierkursen

dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)

Integralgleichungen

→ Hauptartikel: Integralgleichung

Tritt die gesuchte Funktion in einem Integral auf, so spricht man von einer Integralgleichung. Ein Beispiel einer linearen Integralgleichung 1. Art ist

$\int_0^x (x-t) f(t)~dt = x^3.$

Zusammengesetzte Gleichungen

Gleichungsketten

Befinden sich in einer Zeile mehrere Gleichheitszeichen, so spricht man von einer Gleichungskette. In einer Gleichungskette sollen alle durch Gleichheitszeichen getrennten Ausdrücke vom Wert her gleich sein. Dabei ist jeder dieser Ausdrücke separat zu betrachten. Beispielsweise ist die Gleichungskette

17 + 3 = 20 / 2 = 10 + 7 = 17

falsch, weil sie in Einzelgleichungen zerlegt zu falschen Aussagen führt. Wahr ist dagegen zum Beispiel

17 + 3 = 40 / 2 = 10 + 10 = 20.

Gleichungsketten sind insbesondere wegen der Transitivität der Gleichheitsrelation sinnvoll interpretierbar. Gleichungsketten treten oft auch gemeinsam mit Ungleichungen in Abschätzungen auf, so gilt beispielsweise für $n\ge 3$

$2n^2 = n^2+n^2 \ge n^2+3n > n^2+2n+1 = (n+1)^2$.

Gleichungssysteme

Oft werden mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, betrachtet und dabei mehrere Unbekannte gleichzeitig gesucht. Beispielsweise ist

$\begin{align} x+y+z &= 5 \\ 2x-z &= 13 \end{align}$

ein lineares Gleichungssystem bestehend aus zwei Gleichungen und drei Unbekannten x,y und z. Fasst man sowohl die Gleichungen, als auch die Unbekannten zu Tupeln zusammen, so lässt sich ein Gleichungssystem auch als eine einzelne Gleichung für einen unbekannten Vektor auffassen. So schreibt man in der Linearen Algebra ein Gleichungssystem als Vektorgleichung

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}$

mit einer Matrix $\mathbf{A}$, den unbekannten Vektor $\mathbf{x}$ und der rechten Seite $\mathbf{b}$, wobei $(\cdot)$ das Matrix-Vektor-Produkt ist. In obigem Beispiel sind

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}1&1&1 \\ 2&0&-1\end{pmatrix},$   $\mathbf{x} = \begin{pmatrix}x \\ y\\z\end{pmatrix}$   und   $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}5\\ 13\end{pmatrix}.$

Eine Faustregel besagt, dass gleich viele Gleichungen wie Unbekannte benötigt werden, damit ein Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Das ist aber tatsächlich nur eine Faustregel, bis zu einem gewissen Grad gilt sie wegen des Hauptsatzes über implizite Funktionen für reelle Gleichungen mit reellen Unbekannten.

Lösen von Gleichungen

→ Hauptartikel: Lösen von Gleichungen

Analytische Lösung

Soweit es möglich ist, versucht man, die Lösungen einer Bestimmungsgleichung exakt zu ermitteln. Wichtigstes Hilfsmittel dabei sind Äquivalenzumformungen, durch die eine Gleichung schrittweise in andere äquivalente Gleichungen (die also dieselbe Lösungsmenge haben) umgeformt wird, bis man eine Gleichung erhält, deren Lösung einfach bestimmt werden kann.

Numerische Lösung

Viele Gleichungen, insbesondere aus naturwissenschaftlichen Anwendungen, können nicht analytisch gelöst werden. In diesem Fall versucht man, am Computer eine näherungsweise numerische Lösung zu berechnen. Solche Verfahren werden in der numerischen Mathematik behandelt. Viele nichtlineare Gleichungen lassen sich approximativ lösen, indem die in der Gleichung auftretenden Nichtlinearitäten linear angenähert werden, und dann die entstehenden linearen Probleme gelöst werden (beispielsweise im Newton-Verfahren). Für andere Problemklassen, etwa bei der Lösung von Gleichungen in unendlich-dimensionalen Räumen, wird die Lösung in geeignet gewählten endlich-dimensionalen Unterräumen gesucht (beispielsweise in der Galerkin-Methode).

Qualitative Analyse

Auch wenn eine Gleichung nicht analytisch gelöst werden kann, ist es dennoch oft möglich, mathematische Aussagen über die Lösung zu treffen. Insbesondere interessieren Fragestellungen, ob eine Lösung überhaupt existiert, ob sie eindeutig ist, und ob sie stetig von den Parametern der Gleichung abhängt. Ist dies der Fall spricht man von einem korrekt gestellten Problem. Eine qualitative Analyse ist auch bzw. gerade bei der numerischen Lösung einer Gleichung wichtig, damit sichergestellt ist, dass die numerische Lösung tatsächlich eine Näherungslösung der Gleichung liefert.

Siehe auch

• Reaktionsgleichung
• Gleichung (Volkswirtschaft)
• Zahlenwertgleichung

Weblinks

 Wiktionary: Gleichung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Landesbildungsserver Baden-Württemberg - Zusammenstellung der abiturrelevanten Gleichungsarten mit Lösungshinweisen und Aufgaben
• The World of mathematical equations. Umfangreiche englische Seite.

Einzelnachweise

1. ↑ Hauptseite Gleichungen. Landesbildungsserver Baden-Württemberg, abgerufen am 8. März 2011.