Resolventenmenge

Resolventenmenge

In der Mathematik ist die Resolvente die Inverse eines spektral verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Ihr Definitionsbereich ist die Resolventenmenge.

Definition

Für einen linearen Operator A (oder auch eine Matrix A\in\mathbb{C}^{n\times n}) definiert man die Resolventenmenge ρ(A) als das Komplement des Spektrums von A, d.h. als die Menge aller komplexen Zahlen z, für die der Operator zI A beschränkt invertierbar ist. Die Resolventenmenge ist als Komplement des Spektrums offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch

R\left(A,z\right)=(zI-A)^{-1}\ .

Viele Autoren verwenden als Definition der Resolvente R\left(A,z\right)=(A-zI)^{-1}, was lediglich ein anderes Vorzeichen bedeutet.

Eigenschaften

Die Resolvente ist eine analytische Funktion und kann auf \{z \in \mathbb{C}:|z| > r\}, wobei r der Spektralradius ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:

R\left(A,z\right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{A^n}{z^{n+1}}.

Die Resolvente wird verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, zB. die Entwicklungen von Rellich-Kato und Strutt-Schrödinger.

Resolventenidentitäten

Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus \left(z_1-z_2\right)I=z_1I-A-(z_2I-A) folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität

R\left(A,z_2\right)-R(A,z_1)=(z_1-z_2)R(A,z_1)R(A,z_2)
                          =(z_1-z_2)R(A,z_2)R(A,z_1),

und aus A_1-A_2=zI-A_2-\left(zI-A_1\right) folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität

R\left(A_1,z\right)-R(A_2,z)=R(A_1,z)(A_1-A_2)R(A_2,z).

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