Fresnel-Integral

Fresnel-Integral

Als Fresnel-Integrale werden in der Mathematik die beiden uneigentlichen Integrale

\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos(t^2)\,\mathrm{d}t
     =\int\limits_{-\infty}^{\infty}\sin(t^2)\,\mathrm{d}t = \tfrac12\sqrt{2\pi}

bezeichnet; sie ergeben sich aus dem gaußschen Fehlerintegral unter Benutzung des cauchyschen Integralsatzes. Fresnel kannte sie um 1819. Euler kannte schon 1781 die allgemeineren Integrale

\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{(a^2-1)t^2}\cos(2at^2)\,\mathrm{d}t 
=\frac{\sqrt{\pi}}{1+a^2},\qquad -1\le a\le1,
\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{(a^2-1)t^2}\sin(2at^2)\,\mathrm{d}t =
 \frac{a\,\sqrt{\pi}}{1+a^2},\qquad -1\le a\le1.

Sie spielen auch eine wichtige Rolle in der Optik und Quantenmechanik.

Der Ansatz, die Quantenmechanik aus Pfadintegralen herzuleiten, basiert auf Integralen der Form:

\mathcal{F}^{(j)}\equiv \mathcal{N} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \xi^j \mathrm{d}\xi

Eine praktische Formulierung der Normierungskonstante \mathcal{N} ist

\mathcal{N} \equiv \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}},

j ist eine ganze natürliche Zahl.

Für j = 0 ist das Integral

\mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \  \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \mathrm{d}\xi

und heißt dann Fresnel-Integral. Integrale dieser Form tauchen in der aus den feynmanschen Pfadintegralen hergeleiteten Schrödingergleichung auf.

Aus dem Fresnelintegral ergibt sich eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteile bestimmt sind durch:

\int\limits_{-\infty}^{\infty} \cos (\alpha \xi^2) \, \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\pi}{2\left|\alpha\right|}} und
\int\limits_{-\infty}^{\infty} \sin (\alpha \xi^2) \, \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\pi}{2\left|\alpha\right|}}\cdot \operatorname{sign}(\alpha)

Beide Integrale konvergieren. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von α, der antisymmetrische Sinus wechselt das Vorzeichen.

Aus der Addition ergibt sich mit \sqrt{i}=e^{i\frac{\pi}{4}}, − 1 = eiπ und einer Fallunterscheidung für die Signum-Funktion als Lösung des Fresnel-Integrals

\mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \  \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}}\cdot \sqrt{\frac{i\pi}{\alpha}}=1.

Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet.

Literatur

  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage, Springer-Verlag 2002, ISBN 3540590757, Seiten 156f.
  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage, Springer-Verlag 2007, ISBN 3540404325, Seite 47.

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Fresnel integral — S(x) and C(x) The maximum of C(x) is about 0.977451424. If πt²/2 were used instead of t², then the image would be scaled vertically and horizontally (see below). Fresnel integrals, S(x) and C(x), are two transcendental functions named aft …   Wikipedia

  • Fresnel (disambiguation) — Fresnel can refer to physicist Augustin Jean Fresnel, or to the following topics associated with him:*Fresnel equations, describing light reflection and refraction *Huygens Fresnel principle, a description of wave propagation *Fresnel diffraction …   Wikipedia

  • Fresnel diffraction — In optics, the Fresnel diffraction equation for near field diffraction, is an approximation of Kirchhoff Fresnel diffraction that can be applied to the propagation of waves in the near field.[1] The near field can be specified by the Fresnel… …   Wikipedia

  • Fresnel equations — The Fresnel equations, deduced by Augustin Jean Fresnel (pronEng|freɪˈnɛl), describe the behaviour of light when moving between media of differing refractive indices. The reflection of light that the equations predict is known as Fresnel… …   Wikipedia

  • Fresnel zone — In optics and radio communications, a Fresnel zone (pronounced FRA nel Zone ), named for physicist Augustin Jean Fresnel, is one of a (theoretically infinite) number of concentric ellipsoids of revolution which define volumes in the radiation… …   Wikipedia

  • Fresnel number — The Fresnel number F , named after the physicist Augustin Jean Fresnel, is a dimensionless number occurring in optics, in particular in diffraction theory.For an electromagnetic wave passing through an aperture and hitting a screen, the Fresnel… …   Wikipedia

  • Fresnel-Zahl — Die Fresnel Zahl F, benannt nach dem Physiker Augustin Jean Fresnel, ist eine dimensionslose Kennzahl, die in der Optik, besonders bei der Beugung, Verwendung findet. Sie beschreibt, wie stark die Beugung eines Lichtstrahls an einer Blende ist.… …   Deutsch Wikipedia

  • Integral de Fresnel — S(x) and C(x) El máximo de C(x) es 0,977451424. Si se utiliza πt²/2 en vez de t², entonces la imagen estaría escalada verticalmente y horizontalmente (ver comentario abajo). Las integrales de Fresnel, S(x) y C(x), son dos funciones trascenden …   Wikipedia Español

  • Fresnel-Beugung — Das Beugungsintegral ermöglicht es, in der Optik die Beugung von Licht durch eine beliebig geformte Blende zu berechnen. Speziell wird dabei, ausgehend von einer einfallenden Elementarwelle und der Blendenfunktion, die die Lichtdurchlässigkeit… …   Deutsch Wikipedia

  • Integral de caminos (mecánica cuántica) — Cualquier posible trayectoria entre A y B contribuye a la probabilidad de que una partícula se propague entre ambos puntos. La formulación mediante integral de caminos de la mecánica cuántica es un enfoque en el que las relaciones fundamentales… …   Wikipedia Español

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”