Fréchet-Metrik

Fréchet-Metrik

Fréchet-Metrik (nach Maurice René Fréchet) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Sie stellt eine Verbindung zwischen Metrik und Norm her.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei X ein beliebiger Vektorraum. Eine Fréchet-Metrik ist eine Abbildung  \varrho: X \to \mathbb{R} , die für  x,y \in X folgende Bedingungen erfüllt:

  1.  \varrho(x)=\varrho (-x)
  2.  \varrho (x)\ge 0, wobei \varrho (x)=0\iff x=0
  3.  \varrho (x+y)\le \varrho(x)+\varrho(y)

Das heißt, \varrho ist symmetrisch, nichtnegativ und genügt der Dreiecksungleichung.

Anwendungen

  • Durch eine Fréchet-Metrik kann in einem Vektorraum eine Metrik definiert werden vermöge d(x,y):=\varrho(x-y). Dass die so definierte Abbildung eine Metrik ist, folgt direkt aus der Definition der Fréchet-Metrik.
  • Umgekehrt gilt: Jede Metrik d auf einem Vektorraum, die translationsinvariant ist, d.h. d(x + c,y + c) = d(x,y), entsteht durch genau eine solche Fréchet-Metrik.
  • Jede Norm x\mapsto\|x\| auf X ist eine Fréchet-Metrik, denn \|\cdot\| erfüllt offensichtlich die Bedingungen (2) und (3). Die Gültigkeit von (1) folgt aus der Homogenität von Normen. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Beispielsweise ist für  X=\mathbb{R}^n die Fréchet-Metrik \varrho(x):=\frac{|x|}{1+|x|} keine Norm, da sie nicht homogen ist.
  • Ein topologischer Vektorraum besitzt genau dann eine Fréchet-Metrik, die seine Topologie erzeugt, wenn er erstabzählbar ist.
  • Wenn ein (reeller oder komplexer) Vektorraum mit Fréchet-Metrik die zusätzlichen Eigenschaften hat, dass er vollständig ist und dass die Topologie dieses Vektorraums lokalkonvex ist, dann handelt es sich um einen Fréchet-Raum.

Literatur

  • H. W. Alt: "Lineare Funktionalanalysis", 4. Aufl., Berlin, Springer, 2002, ISBN 3-540-43947-1.

Siehe auch


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