Frechet-Metrik

Fréchet-Metrik (nach Maurice René Fréchet) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Sie stellt eine Verbindung zwischen Metrik und Norm her.

Definition

Sei X ein beliebiger Vektorraum. Eine Fréchet-Metrik ist eine Abbildung $\varrho: X \to \mathbb{R}$, die für $x,y \in X$ folgende Bedingungen erfüllt:

• (1) $\varrho(x)=\varrho (-x)$
• (2) $\varrho (x)\ge 0$, wobei $\varrho (x)=0\iff x=0$
• (3) $\varrho (x+y)\le \varrho(x)+\varrho(y)$

Das heißt, $\varrho$ ist symmetrisch, nichtnegativ und genügt der Dreiecksungleichung.

Anwendungen

• Durch eine Fréchet-Metrik kann in einem Vektorraum eine Metrik definiert werden vermöge $d(x,y):=\varrho(x-y)$. Dass die so definierte Abbildung eine Metrik ist, folgt direkt aus der Definition der Fréchet-Metrik.
• Umgekehrt gilt: Jede Metrik d auf einem Vektorraum, die translationsinvariant ist, d.h. d(x + c,y + c) = d(x,y), entsteht durch genau eine solche Fréchet-Metrik.
• Jede Norm $x\mapsto\|x\|$ auf X ist eine Fréchet-Metrik, denn $\|\cdot\|$ erfüllt offensichtlich die Bedingungen (2) und (3). Die Gültigkeit von (1) folgt aus der Homogenität von Normen. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Beispielsweise ist für $X=\mathbb{R}^n$ die Fréchet-Metrik $\varrho(x):=\frac{|x|}{1+|x|}$ keine Norm, da sie nicht homogen ist.
• Ein topologischer Vektorraum besitzt genau dann eine Fréchet-Metrik, die seine Topologie erzeugt, wenn er erstabzählbar ist.
• Wenn ein (reeller oder komplexer) Vektorraum mit Fréchet-Metrik die zusätzlichen Eigenschaften hat, dass er vollständig ist und dass die Topologie dieses Vektorraums lokalkonvex ist, dann handelt es sich um einen Fréchet-Raum.

Literatur

• H. W. Alt: "Lineare Funktionalanalysis", 4. Aufl., Berlin, Springer, 2002, ISBN 3-540-43947-1.

Siehe auch

• Fréchet-Raum