Fuchssche Gruppe

Unter Fuchsschen Gruppe versteht man gewisse Untergruppen der $PSL(2;\mathbb{R})$. Fuchssche Gruppen spielen insbesondere in der Theorie der Modulformen eine bedeutende Rolle. Der Begriff Fuchssche Gruppe geht auf den Berliner Mathematiker Lazarus Immanuel Fuchs zurück und wurde wohl erstmals von Henri Poincaré verwendet.

Definition

Eine Fuchssche Gruppe ist eine diskrete Untergruppe der $PSL(2;\mathbb{R})$, d.h. mit anderen Worten, dass sie aus orientierungs-erhaltenden Isometrien der oberen komplexen Halbebene besteht.

Beispiel

Das wahrscheinlich bekannteste Beispiel einer Fuchsschen Gruppe ist die Modulgruppe $PSL(2;\mathbb{Z})$. Weitere bekannte Beispiele sind Kongruenzuntergruppen. Man beachte, dass fuer einen beliebigen Zahlkörper $K \neq \mathbb{Q}$ mit Ganzheitsring $\mathcal{O}_K$ die Gruppe $PSL(2;\mathcal{O}_K)$ niemals Fuchssch ist, weil $\mathcal{O}_K$ dicht in $\mathbb{R}$ liegt.

Klassifikation

Man unterscheidet Fuchssche Gruppen erster und zweiter Ordnung. Ein entscheidender Unterschied dieser beiden Typen von Fuchsschen Gruppen ist die geometrische Struktur ihrer Fundamentalbereiche. Eine Fuchssche Gruppe ist genau dann eine Fuchssche Gruppe erster Art, wenn das hyperbolische Volumen ihres Fundamentalbereiches endlich ist.

Literatur

• Svetlana Katok: Fuchsian Groups. The University of Chicago Press, 1992.
• Donal O'Shea: Poincarés Vermutung. S. Fischer, 2007.
• Toshitsune Miyake: Modular Forms. Springer Berlin, 1989