Modulgruppe

Modulgruppe

Lineare Gruppen dienen in der Mathematik der Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien. Die spezielle lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper \mathbb{K} (oder allgemeiner einem kommutativen, unitären Ring), SL(n, \mathbb{K} ), ist die Gruppe aller n×n Matrizen mit Koeffizienten aus \mathbb{K}, deren Determinante 1 beträgt. Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation.

Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge \mathbb{R} der reellen oder \mathbb{C} der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch SL(n).

Eigenschaften

Die spezielle lineare Gruppe SL(n,\mathbb{K} ) ist eine normale Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(n, \mathbb{K}).

Die Faktorgruppe GL(n,\mathbb{K})/SL(n, \mathbb{K}) ist isomorph zu \mathbb{K}×, der multiplikativen Gruppe von \mathbb{K} (für einen Körper \mathbb{K} ist \mathbb{K}× gleich \mathbb{K} ohne die 0).

Wichtige Untergruppen der SL(n,\mathbb{K}) sind die spezielle orthogonale Gruppe SO(n, \mathbb{K}) und die spezielle unitäre Gruppe SU(n,\mathbb{K}).

Die spezielle lineare Gruppe SL(n) über dem Körper \mathbb{R} oder \mathbb{C} ist eine Lie-Gruppe über \mathbb{K} der Dimension n2-1.

Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen, da die Bedingung, dass die Determinante gleich 1 sein muss, durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix-Koeffizienten ausgedrückt werden kann.

Die spezielle lineare Gruppe SL(n,\mathbb{K}) beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen.

Siehe auch


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