Gabriels Horn

3D-Modell von Gabriels Horn

Gabriels Horn (auch Torricellis Trompete) ist ein von Evangelista Torricelli entdeckter Körper, der eine unendliche Oberfläche, aber ein endliches Volumen besitzt. Der Name leitet sich zum einen aus der einem Blasinstrument ähnelnden Form, zum anderen aus der Tradition her, den Erzengel Gabriel als den Engel anzusehen, der das Horn bläst, um das Jüngste Gericht anzukündigen, wobei dabei die Unendlichkeit mit der Göttlichkeit assoziiert wird.

Mathematische Definition

Das linke Ende von Gabriels Horn

Gabriels Horn ergibt sich, wenn man den Graphen der Funktion $y= \frac{1} {x}$ mit dem Definitionsbereich $x \ge 1$ (um die Polstelle bei x = 0 zu vermeiden) um die x-Achse rotieren lässt. Volumen (V) und Fläche (A) dieses Rotationskörpers berechnen sich auf folgende Weise:

$V = \pi \int_{1}^{\infty} {1 \over x^2}\mathrm{d}x = \pi$

$A = 2\pi \int_1^\infty \frac{1}{x}\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}\mathrm{d}x \ge 2\pi \int_1^\infty \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x = \infty$

Um das nachvollziehen zu können, muss man wissen, dass für alle $\!\,f(x) ={x}^{-n}$ mit $n \geq 2$ das uneigentliche Integral von 1 bis $\infty$ existiert, das heißt gegen einen endlichen Wert konvergiert:

$\int_{1}^{\infty}x^{-n}\mathrm{d}x = \left[\frac{1}{1 - n} x^{1-n}\right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{n - 1}$

Dahingegen ist die Fläche unter der Kurve $f(x) = \frac{1}{x}$ unbeschränkt, denn eine Stammfunktion dieser Kurve ist der natürliche Logarithmus:

$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\mathrm{d}x = \left[\ln x \right]_{1}^{\infty} = \infty$

Erläuterung des Paradoxons

Einerseits bräuchte man unendlich viel Farbe, um die Innen- oder Außenfläche des Horns vollständig zu bedecken, andererseits könnte man das Innere des Horns mit einer endlichen Menge Farbe füllen. Die Auflösung dieses scheinbaren Paradoxons besteht darin, dass zum Bestreichen der gesamten Innenfläche des Körpers eine Farbschicht mit einer so geringen Dicke nötig wäre, dass diese nahezu kein Volumen mehr hätte.

Weblinks

• Thomas Peters: Gabriels Horn (PDF-Datei; 104 kB)
• Torricellis Trompete auf PlanetMath (engl.)
• Eric W. Weisstein: Gabriel's Horn. In: MathWorld. (englisch)