Gewichtetes harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel ist ein Mittelwert einer Menge von Zahlen. Das harmonische Mittel der Zahlen $x_1,\dots,x_n$ ist definiert als

$\bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}.$

Durch Bildung des Kehrwertes erhält man

$\frac{1}{\bar{x}_\mathrm{harm}} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}{n}$,

der Kehrwert des harmonischen Mittels ist also das arithmetische Mittel der Kehrwerte.

Für zwei Werte a und b ergibt sich

$\bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{2ab}{a +b} = \frac{\bar{x}_\mathrm{geom}^2}{\bar{x}_\mathrm{arithm}}$

Beispiel für das harmonische Mittel von 5 und 20:

$\frac{2}{\frac{1}{5}+\frac{1}{20}} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8$

oder

$\frac{2 \cdot 5 \cdot 20}{5 + 20} = 8$

Mit dieser Formel ist das harmonische Mittel zunächst nur für von Null verschiedene Zahlen x_i definiert. Geht aber einer der Werte x_i gegen Null, so existiert der Grenzwert des harmonischen Mittels und ist ebenfalls gleich Null. Daher ist es sinnvoll, das harmonische Mittel als Null zu definieren, wenn mindestens eine der zu mittelnden Größen gleich Null ist.

Gewichtetes harmonisches Mittel

Sind den x_i positive Gewichte w_i > 0 zu geordnet so ist das gewichtete harmonisches Mittel wie folgt definiert:

$\bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n w_i}{\sum\limits_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}$

Sind alle w_i = 1 so erhält man das gewöhnliche harmonische Mittel.

Beispiel

Allgemein gilt: Benötigt man für die Teilstrecke s₁ die Zeit t₁ (also Durchschnittsgeschwindigkeit v₁ = s₁ / t₁) und für die Teilstrecke s₂ die Zeit t₂ (also Durchschnittsgeschwindigkeit v₂ = s₂ / t₂, so gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Strecke

$v=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}}=\frac{t_1v_1+t_2v_2}{t_1+t_2}$

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also das mit den Wegstrecken gewichtete harmonische Mittel der Teilgeschwindigkeiten oder das mit der benötigten Zeit gewichtete arithmetische Mittel der Teilgeschwindigkeiten.

Fährt man eine Stunde mit 50 km/h und dann eine Stunde mit 100 km/h, so legt man insgesamt 150 km in 2 Stunden zurück; die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 75 km/h, also das arithmetische Mittel von 50 und 100. Bezieht man sich hingegen nicht auf die benötigte Zeit, sondern auf die durchfahrene Strecke, so wird die Durchschnittsgeschwindigkeit durch das harmonische Mittel beschrieben: Fährt man 100 km mit 50 km/h und dann 100 km mit 100 km/h, so legt man 200 km in 3 Stunden zurück, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 66 2/3 km/h, also das harmonische Mittel von 50 und 100.

$v=\frac{100+100}{2+1}=\frac{100+100}{\frac{100}{50}+\frac{100}{100}}=\frac{1*100+1*100}{2+1}=\frac{200}{3}=66~2/3~[km/h]$

Weblinks

Eric W. Weisstein: Harmonic Mean auf MathWorld (englisch)