Null

Null
0

Die Zahl Null ist die Anzahl der Elemente in einer leeren Ansammlung von Objekten, mathematisch gesprochen die Kardinalität der leeren Menge, d.h. die kleinste Kardinalzahl (Anzahl) wird als Null bezeichnet. Null bezeichnet in der Mathematik je nach Kontext verschiedenartig definierte Objekte, die jedoch oft miteinander identifiziert werden können, d.h. als dasselbe Objekt angesehen, das verschiedene miteinander kompatible Eigenschaften vereint. Da Kardinalzahlen mit speziellen Ordinalzahlen identifiziert werden, wird die Null – im Gegensatz zum gängigen Sprachgebrauch – auch als erste Ordinalzahl gewählt. Als endliche Kardinal- und Ordinalzahl wird sie je nach Definition oft auch zu den natürlichen Zahlen gezählt. Die Null ist das neutrale Element bezüglich der Addition (anschaulich gesprochen die Differenz zweier gleicher Zahlen) in vielen Körpern, wie etwa den rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen, und eine gängige Bezeichnung für ein neutrales Element in vielen algebraische Strukturen, selbst wenn andere Elemente nicht mit gängigen Zahlen identifiziert werden. Als ganze Zahl ist die Null Nachfolgerin der Minus-Eins und Vorgängerin der Eins. Die Zahl Null ist gerade. Die Null ist die einzige reelle Zahl, die weder positiv noch negativ ist.

Dargestellt wird die Null durch die Ziffer „0“, deren Einführung Stellenwertsysteme wie die Dezimalzahlen erst möglich machte.

Inhaltsverzeichnis

Die Geschichte der Null

Erst die Erfindung des dezimalen Stellenwertsystems mit dem Lückenzeichen „0“ und die Betrachtung von „0“ als eigenständiger Gegenstand (Ziffer), mit dem man wie mit (bisherigen) Zahlen rechnen konnte, führte zur Vorstellung, dass die Null „0“ eine Zahl sei. Damit war eine Grundlage für die weitere Entwicklung der Mathematik gelegt.

Alte Welt

Babylonien

In der Perser- (539–331 v. Chr.) und hauptsächlich der Seleukidenzeit (305–63 v. Chr.) gab es als Vorstufe der Zahl Null ein Fehlzeichen im Sexagesimalsystem der Babylonier,[1] nämlich in sexagesimalen Zahlen an Stellen ohne Wert. Davor wurde es nur in altbabylonischer Zeit (um 1800–um 1500 v. Chr.) in manchen Texten verwendet um Doppeldeutigkeiten wie sexagesimal 30,16 (= 30×60 + 16 = 1816) und 20,26 (= 20×60 + 26 = 1226) oder 10,36 (= 10×60 + 36 = 636) zu verhindern,[2] eine Stelle ohne Wert wurde dann durch eine Lücke dargestellt.[3] Meistens musste man aber aus dem Zusammenhang heraus auf das Fehlen von Stellen schließen, was jedoch nur sehr selten nötig war, denn in den erhaltenen Texten findet sich unter Tausenden von Zahlenangaben nur etwa ein Dutzend solcher Fälle.[4] Die sexagesimalen Zahlen der Babylonier hatten keine feste Größenordnung, so wurde z.B. dezimal 123 (= 2×60 + 3) genau so geschrieben wie 7380 (= 2×60² + 3×60) oder 2,05 (= 2 + 3/60). Nur in astronomischen Texten änderte sich dies ab 200 v. Chr. und das Fehlzeichen wurde dort auch am Ende von Zahlen verwendet.[5]

Bereits in altbabylonischer Zeit[6] traten außerdem in algebraischen Texten Differenzen bei Zwischenergebnissen auf, die auch null wurden. In solchen Fällen stand in den Texten aber nur,[7] dass Minuend und Subtrahend gleich seien, es findet sich weder ein Name für null noch wurde eine Anzahl von null als Lösung algebraischer Aufgaben anerkannt. Die Babylonier kannten daher noch keine Zahl Null.

Ägypten, Griechenland und Römisches Reich

In Ägypten wurde im 2. Jahrhundert v. Chr. am Horus-Tempel in Edfu eine Inschrift angebracht, in der die Maße von Tempelländereien angegeben sind. Die Ländereien teilte man – so die heutige, jedoch nicht sichere Interpretation – in vier- und dreieckige Parzellen auf, deren Flächen dann nach einer allgemeinen Formel für Vierecke aus den vier Seitenlängen ungefähr berechnet wurden. Bei Dreiecken wurde die vierte Seite null gesetzt und als Zeichen dafür die Hieroglyphe
D35
(„nichts“) benutzt. Die Zahl Null war also vielleicht schon zu dieser Zeit in Ägypten bekannt.[8]

Die Griechen dagegen kannten keine Zahl Null. Erst die hellenistische Welt übernahm von den Babyloniern mit der Astronomie auch deren Sexagesimalbrüche, man schrieb diese jedoch mit den ionischen Zahlsymbolen.[9] So auch der griechische Astronom Klaudios Ptolemaios, der im 2. Jahrhundert n. Chr. in der berühmten Bibliothek des Museions in Alexandria arbeitete. Er verwendete in astronomischen Angaben das Fehlzeichen o,[10] das vermutlich für das griechische Wort ουδέν („nichts“) steht.[11]

Die römischen Kaiser förderten zwar die Wissenschaften in den ehemals hellenistischen Gebieten ihres Reiches, bedeutende eigene mathematische Leistungen hatten die Römer jedoch nicht vorzuweisen.

Indien und Südostasien

Hauptartikel: Indische Ziffern

Vermutlich beeinflusst durch das babylonische Sexagesimalsystem sowie Astronomie und Kalenderrechnung[12] entstand zwischen 300 v. Chr. und 600 n. Chr. in Indien das dezimale Stellenwertsystem mit 0 und Zahlzeichen für 1, ..., 9, welche offenbar aus eigenen Zahlzeichen, die es zu indischen Schriften gab, entstanden waren.[13] Da in dezimalen Zahlen Stellen mit einem Lückenzeichen, d. h. dem Wert null, sehr viel häufiger auftreten als im babylonischen Sexagesimalsystem, wurde die Null für das dezimale Stellenwertsystem unentbehrlich, was für die Akzeptanz der Null als Zahl wohl förderlich gewesen sein dürfte.

Seit dem 7. Jahrhundert n. Chr. findet sich in Inschriften ein Punkt oder ein Kreis als Symbol für die „Leere“ („śūnya“), wie in Indien spätestens seit dem 5. Jahrhundert n. Chr. die Null genannt wurde.[14] In seinem 628 n. Chr. verfassten Lehrbuch „Brāhmasphutasiddhānta“ gab der in Bhinmal (Rajasthan) lehrende Mathematiker und Astronom Brahmagupta Rechenregeln auch für die Null an.[15] Als erster gesicherter Nachweis der Null als Zahl in Indien (schon früher in Südostasien) wird eine Steintafel aus dem Ort Gwalior 500 km südlich von Neu-Delhi mit den Daten 27. Dezember 786, 10. Januar 787 und 17. Januar 787 angesehen, die von einer Gartenanlage handelt, deren Länge 270 (hastas) beträgt und 50 Blumengirlanden erhielt[16].

Die früheste, schriftlich nachweisbare Verwendung der Null findet sich in der Inschrift K. 151 aus Sambor Prei Kuk in Kambodscha vom Anfang des 7. Jahrhunderts n. Chr. und berichtet von der Errichtung einer Götterstatue am 14. April 598: Das hier benutzte Jahr der Śaka-Ära ist 520, wobei die Null mit dem Begriff „Luftraum“ („kha“) wiedergegeben ist.[17] Die nachweislich erste Verwendung der Ziffer „0“ stammt ebenfalls aus Kambodscha, und zwar in der Inschrift K. 127, wo in Ziffern das Śakajahr „605“ genannt wird, das unserem Jahr 683/84 entspricht.[18] Eine ganze Reihe von Inschriften, deren Datum „0“ enthält und die aus etwa der gleichen Zeit stammen, wurden auf Sumatra gefunden.[19]

In den ursprünglichen indischen Systemen war die Reihenfolge der Potenzen umgedreht, die Einer wurden zuerst genannt, dann die Zehner etc. Die Ziffer Null erhöhte damit den Wert der folgenden Ziffer.

China

Im antiken China kannte man keine Zahl Null, denn Problemstellungen hatten niemals eine Anzahl von null als Lösung und es gab keine eigenständige Null, mit der man wie mit anderen Zahlen rechnen konnte.[20] Zahlen wurden jedoch wohl spätestens seit dem 1. Jahrhundert n. Chr. (frühe Han-Dynastie) durch Stäbchen ausgelegt (Jiu Zhang Suanshu, Kapitel 8, Problem 3):[21] Die Einer senkrecht, die Zehner waagerecht, die Hunderter wieder senkrecht usw., wobei an einer Stelle mit mehr als 5 Stäbchen 5 davon durch ein Stäbchen in jeweils anderer Richtung ersetzt wurden.[22] Man verfügte also über ein dezimales Stellenwertsystem, in dem es allerdings – wie im ursprünglichen Sexagesimalsystem der Babylonier – kein Fehlzeichen für Stellen ohne Wert gab.[23] Erst in der Übersetzung eines indischen astronomischen Textes aus der Zeit von 713–741 n. Chr. findet sich die früheste bekannte chinesische Erwähnung eines Fehlzeichens (ein Punkt).[24]

Ebenso war wahrscheinlich schon im 1. Jahrhundert n. Chr. eine Art Matrizenrechnung zur Lösung von linearen Gleichungssystemen bekannt (Jiu Zhang Suanshu, Kapitel 8).[25] Dabei traten in den Rechnungen auch negative Werte auf, die man mit Stäbchen – erstmals in der Geschichte – unterschiedlich zu positiven Werten darstellte. Für diese wurden Additions- und Subtraktionsregeln angegeben, insbesondere auch für leere Einträge, die Matrizenelementen mit dem Wert null entsprachen. Damit hatte man eine rechnerische Vorstufe der Zahl Null. Die Vorzeichenregeln der Multiplikation sind in China dagegen erst ab 1299 n. Chr. nachgewiesen.[26]

Europa ab dem Mittelalter

Während das christliche Abendland unter dem Zerfall des römischen Reiches und anderer Faktoren litt, konnten sich die Muslime ausgiebig mit Wissenschaften beschäftigen. So konnte sich auch Das kurzgefasste Buch über das Rechnen durch Ergänzung (el-Cebr>al-gebra) und Ausgleich (Mukabele;muqâbala) (al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala, um 825) von al-Chwarizmi, einem persisch-türkischen Mathematiker, über ein großes Gebiet ausbreiten. Weitere Rechenbücher wie die von Ibn Ezra im 12. Jahrhundert trugen zu Verbreitung des nunmehr arabisch gewordenen Zahlsystems bei.

Leonardo Fibonacci, ein bedeutender Mathematiker des Mittelalters, der in Algier als Sohn eines italienischen Handelsvertreters mit den arabisch-indischen Zahlen inklusive der Null vertraut war, führte diese 1202 mit seinem Werk Liber abaci, worin er Beispiele aus der Handelswelt bearbeitete, in Italien ein. Er räumt der Null aber nicht den gleichen Stellenwert wie den übrigen Zahlen ein – in seinem Buch nennt er sie Zeichen statt Zahl. Die Verwendung der Null im praktischen Rechnen setzte sich aber erst viel später (im 17. Jahrhundert) durch. Noch Cardano im 16. Jahrhundert kam ohne sie aus[27].

In den folgenden Jahrhunderten gewann die Null in vielen Bereichen an Bedeutung. Die Null wurde zum Ausgangspunkt für viele Skalen, z. B. bei Temperatur oder Meeresspiegel, und so wuchsen die Begriffe „positiv“ und „negativ“ im Denken der Menschen.

Fälschlicherweise wird auch immer wieder behauptet, dass es Papst Silvester II. (mit bürgerlichem Namen Gerbert von Aurillac) gewesen sei, der die arabisch-indischen Zahlen nach Europa gebracht hätte.

Neue Welt

Die Zahlensymbole der Maya. Die Ziffer Null wurde mit einem Zeichen dargestellt, das einer Muschel oder einem Schneckenhaus ähnelt.

Olmeken und Maya

Hauptartikel: Maya-Ziffern

Die Olmeken entwickelten als erstes Volk in Mesoamerika eine erste Form eines astronomischen Kalenders. Das früheste Datum in diesem Kalender, das bislang entdeckt wurde, lautet 7.16.6.16.18 und entspricht wahrscheinlich einem Tag im September 32 v. Chr. (Lange Zählung). Auch die Maya hatten einen solchen Kalender, aus dem sie eine reine Zahlendarstellung im Vigesimalsystem (Stellenwertsystem zur Basis 20) entwickelten. Dabei wurden Stellen mit dem Wert null durch eine Muschel oder ein Schneckenhaus symbolisiert. Das älteste bisher gefundene Datum zeigt einen Tag im Jahr 36 v. Chr.

Inka

Für das Volk der Inka ist ein dezimales Stellenwertsystem nachgewiesen: Sie verwendeten die Knotenschrift der Quipus, die auf einem solchen System aufgebaut war. Als Fehlzeichen diente dabei am Faden eine Stelle ohne Knoten.

Symbole und Schreibweisen

Die indische Ziffer 0

Sofern Verwechslungsgefahr mit dem großen lateinischen Buchstaben O besteht, wird die Ziffer 0 mit einem Schrägstrich oder Punkt gekennzeichnet, z.B.: 0\!\!\!{/} oder 0̷ oder 0\!\!{\cdot}.

In der Mathematik steht das Symbol „0“ häufig auch allgemein für Nullelemente von Strukturen, selbst wenn diese von einer Zahl 0 unterschieden werden.

Andere Zahlschriften

Die Null im Stellenwertsystem

Eine einzeln stehende Null bezeichnet den Wert von Nichts. Wenn die Ziffer 0 jedoch an eine Ziffernfolge angehängt wird, multipliziert sich deren Wert mit der Basis des Stellenwertsystems.

Führende Nullen werden üblicherweise weggelassen bzw. bei einer formatierten Ausgabe durch Leerzeichen ersetzt.

Bei Dezimalzahlen werden Nullen nach dem Komma üblicherweise weggelassen, wenn ihnen keine andere Ziffer mehr folgt. Bei einer formatierten Ausgabe werden sie entsprechend dem Ausgabeformat geschrieben. Eine Ausnahme bilden die Angaben von Messwerten. Hier wird die Null oft zusätzlich geschrieben, um die Genauigkeit der Messung zu veranschaulichen.

Beispiel: Eine Länge wird mit 1,200 m gemessen. Die zwei zusätzlichen Nullen zeigen hier, dass die Messung auf drei Stellen hinter dem Komma genau war.

Typenangaben erfolgen oft mit führender Null, z.B. 001.

Arithmetische Eigenschaften

Die Zahl Null weist einige besondere Eigenschaften auf, die bei der Untersuchung von Rechenregeln hervortreten.

Addition

Die Null symbolisiert im mathematischen Sinne das neutrale Element der Addition in einem kommutativen Monoid, das heißt: Für jedes Element a des Monoids gilt

a + 0 = a = 0 + a.

Die Null im mathematischen Sinne (als neutrales Element eines Monoids) ist stets eindeutig.

Subtraktion

Die Null entsteht als Resultat einer Differenz, bei der der Subtrahend gleich dem Minuenden ist

aa = 0.

Ferner ist

a − 0 = a

und

0 − a = ( − a).

Multiplikation

Durch Einführung der Rechenoperation der Multiplikation, mathematisch formal in der Definition eines Ringes, erhält man folgende Regel:

a · 0 = 0 = 0 · a

Man sagt auch, die Null ist ein absorbierendes Element der Multiplikation.

Division

Das Ergebnis der Division von null durch eine von null verschiedene Zahl ist stets null. Das Ergebnis null tritt nur auf, wenn der Dividend null ist.

Jede mögliche Definition der Division einer Zahl durch null verstößt gegen das Permanenzprinzip. Deshalb ist es in aller Regel zweckmäßig, solche Division undefiniert zu lassen.

Für natürliche Zahlen kann die Division als wiederholte Subtraktion angesehen werden:
Um die Frage „Wie oft muss man 4 von 12 abziehen, um 0 zu erhalten?“ zu beantworten, also 12 : 4 zu bestimmen, kann man so rechnen:

12 − 4 = 8
8 − 4 = 4
4 − 4 = 0

Die Anzahl der Subtraktionen ist 3.

Also ist 12:4 = 3

Bei 12:0 lautet die Frage: „Wie oft muss man 0 von 12 abziehen um 0 zu erhalten?“ Antwort: Keine Anzahl von Operationen bringt das gewünschte Ergebnis.

Anmerkung: Bei 0:0 lautet die Frage: „Wie oft muss man 0 von 0 abziehen um 0 zu erhalten?“ Antwort: Jede beliebige (also keine eindeutige) Anzahl von Operationen bringt das gewünschte Ergebnis.

Für beliebige Zahlenmengen ist die Division als Umkehrung der Multiplikation definiert. Bei der Division von b durch a sucht man eine Zahl x, welche die Gleichung  a \cdot x = b erfüllt. Diese Zahl x – sofern sie eindeutig bestimmt ist – schreibt man als Quotienten  x = \frac {b}{a}

Im besonderen Fall, dass a = 0 ist, gibt es kein eindeutiges Ergebnis: Wir suchen eine Lösung der Gleichung  0 \cdot x = b .

  • Im Fall b \ne 0 ist die Gleichung unlösbar, weil es keine Zahl x gibt, für die 0 \cdot x \ne 0 gilt.
  • Im Fall b = 0 wird die Frage, welche Zahl x die Gleichung erfüllt, trivial: Jede Zahl x erfüllt die Gleichung  0 \cdot x = 0 .

Also gibt es in beiden Fällen kein eindeutiges Ergebnis bei der Division durch null.

Beim Rechnen mit reellen (oder komplexen) Zahlen ist es also nicht möglich, durch null zu dividieren, da diese Operation kein eindeutiges Ergebnis hätte: Die Multiplikation mit 0 ist nicht umkehrbar. Dies gilt allgemein für jeden Ring.

Historische Ansichten

Für Leonhard Euler war die Division von  1 : 0 = \infty (Unendlich). Entsprechend nahm er an, dass es verschieden große unendliche Zahlen gab, denn z.B. 2:0 würde (so Euler) eine doppelt so große unendliche Zahl als 1:0 ergeben.[28]

Auch bei den Indern blieb das Problem der Division durch null ungelöst. Brahmagupta kam zu keinem Ergebnis und Bhaskara im 12. Jahrhundert wie Euler auf das Ergebnis unendlich.

Potenzrechnung

Per Definition gilt a0 = 1, auch für a = 0. Gelegentlich wird 00 auch undefiniert gelassen. Siehe Potenz. Für b > 0 ist 0b = 0. Für b < 0 ist 0b nicht definiert.

Auftreten in der Algebra

Nullteiler

In Restklassenringen (aber nicht nur dort) existieren so genannte Nullteiler, zum Beispiel gilt im Restklassenring modulo 6 die Gleichung 2 · 3 = 0. Daraus folgt jedoch nicht, dass 0 / 2 = 3 ist, denn auch 2 · 0 = 0. Man kann also diesen Quotienten nicht eindeutig (und damit sinnvoll) definieren und daher auch nicht durch einen Nullteiler dividieren.

Bedeutung in der Informatik

Division durch null auf Computern

Für ganze Zahlen (integer und andere Datentypen) ist im Computer eine Division durch 0 nicht definiert. Der Versuch eines Programms, eine ganze Zahl durch 0 zu teilen, erzeugt in der Regel einen Laufzeitfehler, der unbehandelt meist zum Abbruch des Programms führt.

Für Gleitkommazahlen (float und andere Datentypen) ist aber durch den Gleitkommastandard IEEE 754 unter anderem eine Division durch 0 definiert. Dieser Standard definiert zwei Gleitkommazahlen namens +Inf und −Inf (infinity = unendlich) und unterscheidet zwei Zahlen mit dem Wert 0: +0 und −0. Beide repräsentieren die Zahl 0, beim Testen auf Gleichheit werden diese beiden Zahlen als gleich betrachtet. Für das Rechnen mit +0, −0, +Inf und −Inf legt der Standard naheliegende und natürliche Regeln fest, wann immer es möglich ist. So ist zum Beispiel folgendes festgelegt (Inf hier als das ∞-Zeichen dargestellt):

  • +∞ + +∞ = +∞ und −∞ + −∞ = −∞.
  • Für x > +0 gilt:
    x / +0 = +∞,
    x / −0 = −∞,
  • Für x < −0 gilt:
    x / +0 = −∞,
    x / −0 = +∞.

Es gibt aber auch kompliziertere Spezialfälle, die sich nicht so einfach regeln lassen, z. B.

  • +∞ − +∞,
  • +∞ + −∞.

Ebenso die Divisionen

  • 0/0,
  • ∞/∞

in allen Vorzeichenkombinationen. Die Operationen geben eine Unzahl zurück, auch NaN genannt (NaN steht dabei für not a number). Dies ist jedoch nicht in allen Programmiersprachen gleich implementiert.

In der Mathematik werden solche Werte und Unwerte i. Allg. nicht verwendet, da durch diese gewünschte Eigenschaften des Zahlenraums (etwa der reellen Zahlen) wie etwa das Distributivgesetz nicht mehr anwendbar wären. Etwa in der Analysis wird ∞ nicht als Zahl, sondern lediglich symbolisch verwendet, etwa um Grenzwerte oder bestimmte Divergenz zu notieren. Diese Herangehensweise entspricht der Verwendung bei der Berechnung von Grenzwerten in der reellen Analysis, das direkte Auftreten etwa einer Division durch 0 wird jedoch auch formal vermieden, da ansonsten die Anwendung gewisser Rechengesetze zu Widersprüchen führt.

Alltäglicher Sprachgebrauch

  • Die Formulierung „null Uhr“ bedeutet Mitternacht (nicht zu verwechseln mit der Stunde Null).
  • Es wird unterschieden zwischen „24:00 Uhr“ und „0:00 Uhr“. Dabei kommt es darauf an, ob der Tag endet (24:00 Uhr) oder ob der Tag beginnt (0:00 Uhr). So ist z. B. Montag 24:00 Uhr das gleiche wie Dienstag 0:00 Uhr.
  • Das Wort „null“ kommt auch in zahlreichen Redensarten vor (zum Beispiel jemanden auf null bringen, etwas bei null anfangen, jemand sei fachlich gesehen eine Null).
  • Ebenso wird der Beginn unserer Zeitrechnung häufig als „Jahr null“ bezeichnet, obwohl es dieses nicht gab.
  • Mit „Stunde Null“ bezeichnet man des Weiteren den Beginn der Nachkriegszeit in Deutschland.

Herkunft

Die heutige deutsche Bezeichnung stammt vom lateinischen Wort nullus (= Keiner) bzw. altitalienisch nulla figura (= Nichts).

Literatur

  • Helmuth Gericke: Geschichte des Zahlbegriffs. Bibliographisches Institut, Mannheim 1970.
  • Helmuth Gericke: Mathematik in Antike und Orient. Springer, Berlin u.a. 1984
  • Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. Campus, Frankfurt 1986. ISBN 3-593-34192-1.
  • George Joseph: The Crest of the Peacock – the non european roots of mathematics, London 1991
  • Robert Kaplan: Die Geschichte der Null. Gebundene Ausgabe: Campus Verlag, Frankfurt/M. 2000, ISBN 3-593-36427-1. Taschenbuchausgabe: Piper, 2003, ISBN 3-492-23918-8 (englisches Original 1991).
  • Jean-Claude Martzloff: A History of Chinese Mathematics. Springer, Berlin u.a. 1997
  • Karl Menninger: Zahlwort und Ziffer: Eine Kulturgeschichte der Zahl. 3. Aufl., Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1979
  • Mukherjee: Discovery of Zero and its impact on indian mathematics, Calcutta 1991
  • Brian Rotmann: Die Null und das Nichts: Eine Semiotik des Nullpunkts. ISBN 978-3-931659-17-2.
  • Charles Seife: Zwilling der Unendlichkeit: Eine Biographie der Zahl Null. München 2002. ISBN 3-442-15054-X.
  • Kurt Vogel: Vorgriechische Mathematik II: Die Mathematik der Babylonier. Schroedel, Hannover und Schöningh, Paderborn 1959

Einzelnachweise

  1. Vogel; S. 16, Fußnote 3
  2. Bei dieser Wiedergabe sexagesimaler Zahlen werden die Stellen durch Kommas von einander getrennt.
  3. Gericke: Geschichte des Zahlbegriffs. S. 46 f.
  4. Vogel; S. 17
  5. Menninger; Bd. 1, S. 178, Bd. 2, S. 212
  6. Vogel; S. 60 f.
  7. Vogel; S. 61
  8. Gericke: Mathematik in Antike und Orient. S. 58–60
  9. siehe E. Löffler: Ziffern und Ziffernsysteme. 1. Teil: Die Zahlzeichen der alten Kulturvölker. 2., neu bearb. Aufl., B.G. Teubner, Leipzig–Berlin 1918; S. 37 f.
  10. H.-D. Ebbinghaus et al.: Zahlen. 3. Aufl., Springer, Berlin 1992; S. 12
  11. Menninger; Bd. 2, S. 212 f.
  12. Ergebnisse der babylonischen Astronomie gelangten vom 3. Jahrhundert v. Chr. bis zum 1. Jahrhundert n. Chr. vor allem über den Hafen Bharukaccha in Nordwestindien ins Land und damit auch Kenntnisse über das babylonische Sexagesimalsystem. Neugebauer: A history of ancient mathematical astronomy. 1975. Ifrah loc. cit.; S.508
  13. Gericke: Mathematik in Antike und Orient. S. 184 ff.
  14. Gericke: Geschichte des Zahlbegriffs. S. 47
  15. Gericke: Mathematik in Antike und Orient. S. 189, 192
  16. Epigraphia Indica, Vol. I, Calcutta 1892, S. 159-162
  17. K.-H. Golzio, Chronologie der Inschriften Kambojas, Wiesbaden 2006, S. 1
  18. Golzio: Chronologie. S. 23
  19. G. Cœdès: Les inscriptions malaises de Çrīvijaya. BEFEO XXX, 1930, S. 29-80; auf S. 33-44
  20. Martzloff; S. 204
  21. Martzloff; S. 210
  22. Gericke: Mathematik in Antike und Orient. S. 170. Für die Nutzung von Rechenbrettern in der frühen Han-Zeit gibt es keinen Beweis: Martzloff; S. 209
  23. Anders als von einigen Historikern behauptet, lassen sich für die Zeit vor dem 8. Jahrhundert n. Chr. keine Lücken für fehlende Stellen nachweisen: Martzloff; S. 204–207
  24. Martzloff; S. 207
  25. Gericke: Mathematik in Antike und Orient. S. 176–177. Zur Unsicherheit der Datierung siehe Martzloff; S. 131
  26. Martzloff; S. 200–203
  27. MacTutor Webseite, loc. cit.
  28. Euler: Vollständige Anleitung zur Algebra. St. Petersburg 1802, Bd. 1, S. 49

Weblinks


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