Gliwenko-Cantelli-Satz

Der Gliwenko-Cantelli-Satz, auch Hauptsatz der Statistik oder Fundamentalsatz der Statistik genannt (nach Waleri Iwanowitsch Gliwenko und Francesco Cantelli, 1933), ist ein mathematischer Satz, der besagt, dass die empirische Verteilungsfunktion einer eindimensionalen Stichprobe mit Wahrscheinlichkeit Eins gleichmäßig gegen die tatsächliche Verteilungsfunktion konvergiert.

Formal

Seien $X_1,\ldots, X_n$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit der Verteilungsfunktion F.

Die Zufallsvariable $\hat F_n (x) := \frac{1}{n} \cdot \# \{ 1 \le i \le n \mid X_i \le x \}$ ist dann die entsprechende empirische Verteilungsfunktion. Das Rautensymbol $\#$ gibt die Anzahl der Elemente der darauf folgenden Menge an.

Man definiert als größte Abweichung der empirischen Verteilung von der zu Grunde liegenden Verteilung der Zufallsvariablen bezüglich aller Ausprägungen x

$d_n=\sup_x \bigl| \hat F_n (x) - F (x) \bigr|$, wobei sup  für Supremum steht.

Dann gilt, dass die Differenz d_n mit Wahrscheinlichkeit 1, also fast sicher, gegen Null konvergiert:

$P(\lim_{n \to \infty} d_n = 0) = 1$

Beweisidee

Man kann das Theorem von Glivenko-Cantelli zum Beispiel mit dem Gesetz der großen Zahlen beweisen.