- Grad (Polynom)
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Ein Monom ist ein Produkt von Potenzen gewisser Variablen. Der Grad eines Monoms ist die Summe der Exponenten dieser Potenzen. Der Grad oder Totalgrad eines Polynoms ist das Maximum der Grade der Monome, aus denen das Polynom besteht.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei R ein kommutativer Ring, n > 0 eine natürliche Zahl und
der Polynomring in den Variablen
. Ist
ein Monom mit
, so ist der Grad von m definiert als
.
Sei nun
ein Polynom mit
,
und Monomen
. Dann ist der Grad oder Totalgrad von f definiert als
.
Es gibt verschiedene Konventionen zur Definition des Grades von 0. In der Algebra ist es üblich,
zu setzen. Dagegen wird in den Bereichen der Mathematik, die sich mit der Lösung von algebraischen Problemen mit Hilfe von Computern befassen, häufig die Definition deg(0): = − 1 bevorzugt.
Bemerkung: Da Monome nur aus endlich vielen Faktoren bestehen, lässt sich die Definition des Grads eines Monoms und somit auch die Definition des Grads eines Polynoms direkt auf Polynomringe in beliebig vielen Variablen erweitern.
Eigenschaften
Seien
Polynome über R. Dann gilt
und
.
Für den Fall
erhält man sogar deg(f + g) = max(deg(f),deg(g)).
Ist R ein Integritätsring, so gilt sogar
- deg(fg) = deg(f) + deg(g)
für alle
.
Beispiele
Betrachte Polynome in
(siehe ganze Zahlen). Es gilt
- deg(X5) = 5,
- deg(X2Y3Z4) = 2 + 3 + 4 = 9,
- deg(X7Z2 + 3X3Y3 − XY4Z + 5YZ) = deg(X7Z2) = 9 und
- deg(3X4Y4 − X2Y3Z3 + 3Y4Z) = deg(X4Y4) = deg(X2Y3Z3) = 8.
Siehe auch
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