Bewertungstheorie

Im mathematischen Teilgebiet der Bewertungstheorie geht es um Verallgemeinerungen der Frage, durch welche Potenz einer festen Primzahl eine natürliche Zahl teilbar ist.

p-Bewertung

Es sei p eine Primzahl.

Die p-Bewertung (auch: die p-adische Bewertung oder der p-Exponent) v_p(n) einer natürlichen oder ganzen Zahl n ist die größte Zahl k, so dass n noch durch p^k teilbar ist. Die p-Bewertung gibt an, wie oft eine Primzahl p in der Primfaktorzerlegung einer natürlichen oder ganzen Zahl vorkommt.

Die p-Bewertung einer natürlichen Zahl n ist der Exponent der Primzahl p in der Primfaktorzerlegung von n. Ist

$n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k},$

so ist

$v_{p_1}(n) = a_1,\quad v_{p_2}(n) = a_2,\quad\ldots,\quad v_{p_k}(n) = a_k.$

Tritt eine Primzahl p nicht in der Primfaktorzerlegung von n auf, dann ist v_p(n) = 0.

Man setzt $v_p(0) = \infty$, weil jede Potenz jeder Primzahl die 0 teilt.

Die p-Bewertung einer ganzen Zahl ist die ihres Betrags.

Die p-Bewertung einer rationalen Zahl ist die Differenz der p-Bewertungen des Zählers und des Nenners: Für eine rationale Zahl $r = \frac{m}{n}$ mit $m,n\in\mathbb Z$ ist also

v_p(r) = v_p(m) − v_p(n).

Geht p nur im Nenner des (vollständig gekürzten) Bruchs m / n auf, ist v_p(r) also eine negative Zahl.

Die p-Bewertung rationaler Zahlen spielt eine wichtige Rolle bei einer Konstruktionsart der p-adischen Zahlen: die Funktion

$r\mapsto p^{-v_p(r)}$

bildet auf den rationalen Zahlen einen nichtarchimedischen Betrag.

p-ganze und S-ganze Zahlen

Eine p-ganze Zahl (auch "p-adisch ganze Zahl" oder "für p ganze Zahl") ist eine rationale Zahl, die nichtnegative p-Bewertung hat, d.h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nicht durch p teilbar ist. Rationale Zahlen, die nicht p-ganz sind, werden manchmal auch "p-gebrochen" genannt.

Die Menge aller p-ganzen Zahlen ist ein Unterring von $\mathbb Q$, der $\mathbb Z_{(p)}$ geschrieben wird. $\mathbb Z_{(p)}$ ist ein diskreter Bewertungsring, insbesondere gibt es bis auf Assoziierte genau ein irreduzibles Element, nämlich p.

Ist allgemeiner S eine Menge von Primzahlen, so ist eine S-ganze Zahl eine rationale Zahl, die p-ganz für jedes $p\notin S$ ist (!), d.h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur durch Primzahlen aus S teilbar ist. Die Menge der S-ganzen Zahlen bildet einen Unterring $\mathbb Z_S$ von $\mathbb Q$. Beispielsweise ist für $S=\varnothing$ also $\mathbb Z_S=\mathbb Z$, für $S=\complement\{p\}$ ist $\mathbb Z_S=\mathbb Z_{(p)}.$

Diskrete Bewertungen

Es sei K ein Körper. Dann heißt eine surjektive Funktion

$v\colon K\to\mathbb Z\cup\{\infty\}$

eine diskrete Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• v(ab) = v(a) + v(b)
• $v(a)=\infty\iff a=0$
• $v(a+b)\geq\min\{v(a),v(b)\}$

für alle $a,b\in K$. K zusammen mit v heißt diskret bewerteter Körper.

Beispiele

• die p-Bewertung auf den rationalen Zahlen für eine Primzahl p
• die Nullstellen- bzw. Polordnung meromorpher Funktionen in einem festen Punkt

Diskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe

Die Teilmenge

$A := \{x\in K\mid v(x)\geq0\}$

bildet einen Unterring von K, den Bewertungsring von v. Er ist ein diskreter Bewertungsring mit einem maximalen Ideal $\mathfrak m := \{x \mid x \in K, v(x) > 0\}$, welches Hauptideal ist.

Ist umgekehrt $(A,\mathfrak m)$ ein diskreter Bewertungsring, so ist durch

$v(x)=\sup\{k\in\mathbb Z\mid x\in\mathfrak m^k\}$

eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper von A definiert.

Diskrete Bewertungsringe und diskret bewertete Körper entsprechen einander.

Allgemeine Bewertungen

Ist G eine totalgeordnete abelsche Gruppe und K ein (kommutativer) Körper, so ist eine Abbildung

$v\colon K\to G\cup\{\infty\}$

eine Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• v(ab) = v(a) + v(b)
• $v(a)=\infty\iff a=0$
• $v(a+b)\geq\min\{v(a),v(b)\}$

für alle $a,b\in K$.

K heißt dann auch ein bewerteter Körper mit Wertegruppe $v(K^\times)\subseteq G$.

Bewertungen, Bewertungsringe, Bewertungsideale und Restklassenkörper

Ein nullteilerfreier (nicht notwendigerweise kommutativer) Ring mit Einselement A heißt Bewertungsring, wenn er die folgende Eigenschaft hat:

Für jedes Element x des Quotientenkörpers von A gilt $x\in A$ oder $x^{-1}\in A$.

Ist A ein Bewertungsring mit Quotientenkörper K, so kann man eine Bewertung auf K mit Wertegruppe $G=K^\times/A^\times$ definieren:

$v\colon K\to G\cup\{\infty\},\quad v(x)=\left\{\begin{matrix}\infty&x=0\\{}[x]&x\in K^\times;\end{matrix}\right.$

dabei bezeichnet [x] das Bild von x in $G=K^\times/A^\times$; die Ordnung auf G ist definiert durch

$[x]\geq[y]\iff xy^{-1}\in A$ für $x,y\in K^\times.$

Ist umgekehrt K ein bewerteter Körper mit Bewertung v, so ist

$A := \{x\in K\mid v(x)\geq0\}$

ein Bewertungsring, der dann auch der Bewertungsring zur Bewertung v genannt wird. Die Menge

$\mathfrak m := \{x\in K\mid v(x) > 0\}$

ist ein Ideal in A, welches in A maximal ist, genannt das Bewertungsideal der Bewertung v. Der Faktorring $A/\mathfrak m$ ist also ein Körper, genannt der Restklassenkörper der Bewertung v oder des Bewertungsrings A.

Die Gruppe $K^\times/A^\times$ ist kanonisch isomorph zur Wertegruppe von v.

Für einen Körper K gibt es also eine eineindeutige Beziehung zwischen Isomorphieklassen von Bewertungen auf K und Bewertungsringen, die in K enthalten sind.