Greibach-Normalform

Die Greibach-Normalform ist ein Begriff der theoretischen Informatik, der im Zusammenhang mit kontextfreien Sprachen von Interesse ist. Sie ist nach der US-Informatikerin Sheila A. Greibach benannt und beschreibt eine Normalform der kontextfreien Grammatiken. Jede kontextfreie Grammatik, nach der nicht das leere Wort abgeleitet werden kann, kann in eine Greibach-Normalform transformiert werden. Die herausragende Eigenschaft der Greibach-Normalform ist, dass bei jedem Ableitungsschritt jeweils genau ein Terminalzeichen entsteht. Damit ist sie der natürliche Zwischenschritt bei der Umformung einer kontextfreien Grammatik in einen äquivalenten nichtdeterministischen Kellerautomaten ohne ε-Übergänge.

Eine weitere Normalform für kontextfreie Grammatiken ist die Chomsky-Normalform.

Formale Definition

Sei G eine kontextfreie Grammatik (vgl. Chomsky-Hierarchie), also $G \in \mbox{Typ}_2$, mit $G = \left( N, \Sigma, P, S \right)$. Dabei sei N die Menge der Nichtterminalsymbole, Σ die Menge der Terminalsymbole, P die Menge von Produktionsregeln und S das Startsymbol. Sei das leere Element $\varepsilon \notin L \left( G \right)$.

G ist in Greibach-Normalform (kurz GNF), wenn alle Produktionen aus P die Form $A \rightarrow bB_1\ldots B_k$ mit $k \ge 0$ haben, wobei b ein Terminalsymbol ist und A und B_i für $i\in\{1,\ldots,k\}$ Nichtterminale sind. Mit $k \in \{0,1\}$ erhält man eine reguläre Grammatik als Spezialfall einer kontextfreien Grammatik in Greibach-Normalform.

Für alle $G' \in \mbox{Typ}_2$ mit $\varepsilon \notin L \left( G' \right)$ gibt es ein $G \in \mbox{Typ}_2$, mit $L \left( G \right) = L \left( G' \right)$, in Greibach-Normalform.

Ist allerdings $\left( S, \varepsilon \right) \in P$, dann darf S nie auf der rechten Seite einer Produktion vorkommen. Somit ist gewährleistet, dass auch Sprachen, die das leere Wort enthalten, von einer Grammatik in Greibach-Normalform erzeugt werden können.

Konstruktion der GNF

Ausgehend von der Chomsky-Normalform gibt es folgenden Algorithmus zur Überführung einer Grammatik in die Greibach-Normalform. Hierbei sind $A_i, B_i \in N, i \in \mathbb{N}$ Nichtterminale, $x, y \in N^\star$ Folgen von Nichtterminalen, $a \in \Sigma$ Terminale und $V=\Sigma \cup N$ die Menge der Variablen.

Einsetzen der Produktionen

Gibt es eine Regel der Form $A_i \rightarrow A_jx$ mit i > j, muss sie ersetzt werden.

Beispiel: $A_2 \rightarrow A_1x$ mit $A_1 \rightarrow A_3 {|} A_4$ wird zu $A_2 \rightarrow A_3x {|}A_4x$.

Diese Ersetzung fangen wir beim höchsten i an und arbeiten uns bis zur 1 nach unten.

Ersetzen von linksrekursiven Regeln

Linksrekursive Regeln haben die Form $A_i \rightarrow A_ix_1 | A_ix_2 | \ldots | A_ix_n | y_1 | y_2 | \ldots | y_n$, d.h eine Variable kann wieder auf sich selbst ableiten. Durch den vorherigen Schritt des Algorithmus' ist gesichert, dass $y_1, \ldots, y_n$ entweder mit einem Terminal oder einem $A_j,~ i < j$ beginnen.

Durch wiederholtes Einsetzen sieht man leicht, dass durch linksrekursive Regeln genau der Reguläre Ausdruck

$(y_1 | y_2 | \ldots | y_n)(x_1 | x_2 | \ldots | x_n) ^*$

erzeugt werden kann. Dieser kann leicht simuliert werden:
Ersetze die Regeln für A_i mit:

$A_i \rightarrow y_1 | y_2 | \ldots | y_n | y_1B_i | y_2B_i | \ldots | y_nB_i$

und füge neue Regeln für B_i ein:

$B_i \rightarrow x_1 | x_2 | \ldots | x_n | x_1B_i | x_2B_i | \ldots | x_nB_i$.

Ab jetzt gibt es nur noch Regeln der Form $A_i \rightarrow A_jx_1 | A_jx_2 | \ldots | A_jx_n , ~i < j$

Entfernen der Regeln, die mit einem Nichtterminal beginnen

Jetzt können wir in allen Regeln, die zuerst auf ein Nichtterminal ableiten, die Produktionen dieses Nichtterminals einsetzen.

Ab jetzt gibt es nur noch Regeln der Form $A_i \rightarrow aV^*$.

Weiter bis Ende

Nun werden die Konstruktionsregeln auf alle Regeln von B analog angewandt.

Eine strengere Variante der Greibach-Normalform

Es ist auch möglich, die Produktionen einer kontextfreien Grammatik so in Greibach-Normalform umzuformen, dass auf jeder rechten Seite maximal 2 Variablen vorkommen. Die resultierenden Produktionen haben dann also die Form $A_i\rightarrow a$, $A_i\rightarrow aV$ oder $A_i\rightarrow aV_1V_2$.

Konstruktion eines Kellerautomaten aus der GNF

Um aus einer Grammatik G = (N,T,P,S) in GNF einen Kellerautomaten M = (Z,Σ,Γ,δ,q₀,Z₀,F) zu konstruieren, wähle die Zustandsmenge von M als Z = {q₀}, das Kelleralphabet Γ = N, das Bandalphabet Σ = T, das Kellerstartsymbol Z₀ = S und die Menge der Endzustände $F = \emptyset$. Als Übergangsrelation wähle $\delta (q_0,a,A) = \{(q_0,x):(A \rightarrow ax) \in P\}$. M akzeptiert über leeren Keller. Beweis per Induktion^[1].

Literatur

• Uwe Schöning: Theoretische Informatik - kurzgefasst. 4. Auflage. Spektrum, Heidelberg u. a. 2001, ISBN 3-8274-1099-1.

Einzelnachweise

1. ↑ Beweis der Konstruktion des Kellerautomaten aus der GNF