Kellerautomat

Ein Kellerautomat (KA, auch PDA für englisch pushdown automaton; auch Stackmaschine) ist ein Automat im Sinne der theoretischen Informatik. Es handelt sich um ein rein theoretisches Konstrukt, das verwendet wird, um gewisse Eigenschaften von Problemen und Algorithmen zu analysieren und zu beweisen – ob es tatsächlich möglich oder sinnvoll wäre, eine solche Maschine zu bauen, ist dabei unerheblich.

Bei einem Kellerautomaten handelt es sich um einen endlichen Automaten, der um einen Kellerspeicher erweitert wurde. Ein Kellerautomat mit zwei Kellerspeichern ist gleichmächtig zur Turingmaschine.

Funktionsweise

Kellerautomat

Die zugrundeliegende Idee ist die folgende: Der Kellerautomat kann eine Reihe von Zuständen annehmen. Zu Anfang ist er im sogenannten Startzustand. In jedem Verarbeitungsschritt kann, muss aber nicht, ein Zeichen aus der Eingabe gelesen werden; dabei wird die Eingabe zeichenweise von links nach rechts verarbeitet. Außerdem wird in jedem Verarbeitungsschritt das oberste Zeichen vom Keller gelesen, d.h. abgenommen. Abhängig vom aktuellen Zustand, dem gerade gelesenen Eingabezeichen (falls eins gelesen wurde) und dem gerade gelesenen Kellerzeichen geht der Automat in einen neuen Zustand über und legt ein Wort (d.h. null, ein oder mehrere Zeichen) auf dem Keller ab.

Beispiel

Um das Prinzip eines Kellerautomaten zu verdeutlichen, wird häufig die syntaktische Untersuchung geklammerter Ausdrücke herangezogen. Beispielsweise muss in einem Ausdruck einer bestimmten Sprache zu jeder öffnenden Klammer auch eine schließende Klammer existieren:

Beispiel: { .... { ...... } .... }

Der Automat beginnt in einem Startzustand z0; im Keller befindet sich ein Zeichen, welches das Ende kennzeichnet (#). Bei der Abarbeitung des Ausdrucks bewegt sich der Lesekopf Zeichen für Zeichen weiter. Stößt er dabei auf eine öffnende Klammer, so wird diese in den Keller geschrieben. Tritt in der weiteren Abarbeitung eine schließende Klammer auf, so wird das oberste Klammer-auf-Zeichen im Keller wieder gelöscht. Der Ausdruck ist dann erfolgreich abgearbeitet, wenn der Lesekopf das Ende des Eingabebandes erreicht hat und sich im Keller ausschließlich das Zeichen # befindet. Befände sich hingegen noch eine geöffnete Klammer nach der Ausdrucksabarbeitung im Keller, so würde dies bedeuten, dass eine schließende Klammer fehlt und ein syntaktischer Fehler vorliegt. Auch wenn das Ende des Kellers erreicht wird, bevor die Eingabe vollständig abgearbeitet wurde, liegt ein Fehler vor. In diesem Fall befinden sich zu viele schließende Klammern in der Eingabe.

Formale Definition

Ein nichtdeterministischer Kellerautomat wird definiert als ein 7-Tupel $M=(Z,\Sigma,\Gamma,\delta,z_0,\#,F)$, wobei

• $Z\,$ eine endliche Menge von Zuständen,
• $\Sigma\,$ ein Eingabealphabet,
• $\Gamma\,$ das Kelleralphabet,
• $\delta\,$ die Zustandsübergangsfunktion, $\delta \colon Z \times (\Sigma \cup \{ \varepsilon \} ) \times \Gamma \rightarrow \mathcal P(Z \times \Gamma^{*})$, die nur auf endliche Teilmengen von $Z \times \Gamma^*$ abbildet,
• $z_0\in Z$ der Startzustand,
• $\# \in \Gamma$ das Anfangssymbol im Keller und
• $F \subseteq Z$ eine Menge von finalen Zuständen

ist.

Manchmal findet man auch Kellerautomaten als 6-Tupel $M=(Z,\Sigma,\Gamma,\delta,z_0,\#)$, in diesem Fall gibt es keine finalen Zustände und der Kellerautomat akzeptiert ein Wort, falls nach der Abarbeitung des Wortes der Keller leer ist.

Wenn die Übergangsfunktion die Eigenschaft $\forall z \in Z, \forall a \in \Sigma, \forall g \in \Gamma, \left|\delta(z,a,g)\right| + \left|\delta(z,\varepsilon,g)\right|\leq 1$ erfüllt, spricht man von einem deterministischen Kellerautomaten. Zu einer festen Eingabe gibt es dann höchstens eine Zustandsübergangsabfolge, Mehrdeutigkeiten können also nicht auftreten.

Anmerkungen

• Für einen nichtdeterministischen Kellerautomaten ist es möglich, in der Definition auf die Menge der finalen Zustände zu verzichten. Stattdessen definiert man, dass der nichtdeterministische Kellerautomat seine Eingabe akzeptiert, wenn es einen Berechnungspfad gibt, bei dem nach dem Einlesen der Eingabe der Keller das leere Wort enthält. Die beiden Definitionen sind hinsichtlich der akzeptierten Sprachen äquivalent. Für einen deterministischen Kellerautomaten ist diese Aussage im Allgemeinen jedoch falsch.
• Das heißt, dass ein deterministischer Kellerautomat terminieren kann, sobald ein finaler Zustand erreicht wurde, aber nicht sofort terminieren muss. Dabei spielt der Keller keine Rolle. Er akzeptiert ein Wort, wenn er terminiert und das Eingabewort leer ist. Ist es nicht leer, und es sind keine Regeln mehr anwendbar, wurde es nicht akzeptiert.
• Für einen solchen bei leerem Keller akzeptierenden nichtdeterministischen Kellerautomaten ist es möglich, einen äquivalenten Kellerautomaten mit einem einzigen Zustand zu konstruieren, indem die Zustände des alten Kellerautomaten vollständig im Keller des neuen Kellerautomaten simuliert werden. In der Definition eines nichtdeterministischen Kellerautomaten kann also neben der Menge der finalen Zustände auch zusätzlich auf den Startzustand und die Zustandsmenge verzichtet werden.
• Es kann in der Definition eines nichtdeterministischen Kellerautomaten auf ε-Übergänge verzichtet werden. Die Zustandsübergangsfunktion ist dann ein Element aus $(Z \times \Sigma \times \Gamma) \to \mathcal P (Z \times \Gamma^*)$. Mit Hilfe der Greibach-Normalform zeigt man, dass zu jedem nichtdeterministischen Kellerautomaten ein äquivalenter nichtdeterministischer Kellerautomat ohne ε-Übergänge existiert.

Akzeptierte Sprache

Die Menge der Konfigurationen eines Kellerautomaten ist $K=Z\times\Sigma^*\times\Gamma^*$. Ein Element $(z,\alpha,\gamma)\in K$ dieser Menge besteht aus

• dem aktuellen Zustand z,
• dem noch zu lesenden Wort α sowie
• dem Kellerinhalt γ.

Auf K wird eine Relation $\rightsquigarrow\subseteq K\times K$ definiert, über die im Anschluss festgelegt wird, welche Worte akzeptiert werden. Es ist

$\begin{align}\rightsquigarrow := & \{((z,a\alpha,g\gamma),(z',\alpha,\gamma'\gamma)) | z\in Z, a\in\Sigma, \alpha\in\Sigma^*, g\in\Gamma, \gamma,\gamma'\in\Gamma^*, (z',\gamma')\in\delta(z,a,g)\} \\ \cup &\{((z,\alpha,g\gamma),(z',\alpha,\gamma'\gamma)) | z\in Z, \alpha\in\Sigma^*, g\in\Gamma, \gamma,\gamma'\in\Gamma^*, (z',\gamma')\in\delta(z,\varepsilon,g)\}. \end{align}$

Für Automaten, deren Endzustandsmengen über die Akzeptanz entscheiden sollen, heißt es dann:

$\alpha\in\Sigma^*$ wird von M genau dann akzeptiert, wenn es ein $f\in F$ sowie ein $\gamma\in\Gamma^*$ gibt, sodass $(z_0, \alpha, \#) \rightsquigarrow^* (f, \varepsilon, \gamma)$.

Für Automaten hingegen, bei denen die Akzeptanz davon abhängt, ob der Keller leer ist, lautet die Formulierung:

$\alpha\in\Sigma^*$ wird von M genau dann akzeptiert, wenn es ein $z\in Z$ gibt, sodass $(z_0,\alpha,\#) \rightsquigarrow^* (z, \varepsilon, \varepsilon)$ oder $(z_0,\alpha,\#) \rightsquigarrow^* (z, \varepsilon, \#)$.

Dabei ist $\rightsquigarrow^*$ die reflexive und transitive Hülle von $\rightsquigarrow$.

Beispiel

Der folgende Kellerautomat M ist deterministisch und erkennt die kontextfreie Sprache $L = \{a^n\,b^n\,|\,n > 0\}$:

$M=(Z,\Sigma,\Gamma,\delta,z_0,\#,F)$

• $Z = \left\{ {z_0}, {z_1}, {z_2} \right\}$
• $\Sigma = \left\{ a, b \right\}$
• $\Gamma = \left\{ \#, a \right\}$
• $F = \left\{ {z_2} \right\}$

Definition für δ

Parameter			Funktionswert
Zustand	Eingabe	Keller	Zustand	Keller
z0	a	#	z0	a#	(1)
z0	a	a	z0	aa	(2)
z0	b	a	z1	ε	(3)
z1	b	a	z1	ε	(4)
z1	ε	#	z2	ε	(5)

• (1), (2) Im Zustand z₀ werden die führenden a-Zeichen der Eingabe gelesen und im Keller gespeichert.
• (3) Bei Eingabe b und einem a als oberstes Kellerelement erfolgt ein Zustandswechsel von z₀ zu z₁. Abgleich im Keller erfolgt.
• (4) Alle weiteren b-Zeichen werden gelesen, sofern noch genügend a-Zeichen im Keller gespeichert sind. Der Keller wird abgeglichen.
• (5) Wenn sich nur noch das Anfangssymbol $\#\,$ im Keller befindet und keine Eingabe erfolgt, geht der Kellerautomat in den Endzustand z₂ über und akzeptiert damit die Eingabe.

Erhält der Kellerautomat beispielsweise die Eingabe aabb, so durchläuft er folgende Konfigurationen:

(die hochgestellte Nummer am Pfeil kennzeichnet die benutzte Zustandsübergangsfunktion)

(z₀, aabb, #) ⇝⁽¹⁾ (z₀, abb, a#) ⇝⁽²⁾ (z₀, bb, aa#) ⇝⁽³⁾ (z₁, b, a#) ⇝⁽⁴⁾ (z₁, ε, #) ⇝⁽⁵⁾ (z₂, ε, ε)

Dieser Kellerautomat M kann grundsätzlich, wenn er begonnen hat den Keller zu lesen, nicht wieder schreiben. Daher ist die erkannte Sprache insbesondere auch eine lineare Sprache.

Kellerautomaten und formale Sprachen

Ein (Keller-)Automat liest eine aus einzelnen Zeichen bestehende Eingabe und akzeptiert (oder erkennt) diese – oder auch nicht. Die Menge der akzeptierten Eingaben bildet die durch den Automaten definierte Sprache.

Der nichtdeterministische Kellerautomat erkennt genau die kontextfreien Sprachen (Typ 2, vgl. Chomsky-Hierarchie). Sie sind damit mächtiger als endliche Automaten, welche genau die regulären Sprachen (Typ 3) erkennen, aber weniger mächtig als Turingmaschinen, welche genau die rekursiv aufzählbaren Sprachen (Typ 0) erkennen. Ein deterministischer Kellerautomat (DPDA) erkennt die deterministisch-kontextfreien Sprachen, also nur eine echte Teilmenge der kontextfreien Sprachen.

Die Bedeutung des Kellerautomaten ergibt sich also daraus, dass sich Erkenntnisse über diesen (beispielsweise Äquivalenz mit anderen Automaten) auf die kontextfreien Sprachen übertragen lassen (und umgekehrt).

Praktische Implementierung eines Kellerautomaten

Als praktisches Anwendungsbeispiel eines Kellerautomaten sei folgender Parser (implementiert in C) gegeben, welcher eine Sprache, die aus Klammerpaaren besteht, parst und auf Richtigkeit prüft. Der Ausdruck ()((()())) würde beispielsweise akzeptiert werden, falsch hingegen wäre (()())), da hier eine schließende Klammer zu viel gegeben ist.

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
 
#define POP -1
#define ACCEPT -2
#define ERROR -3
 
#define ALPHABET 3 /* Größe des Eingabealphabets */
 
#define MAX_LEN 80
/*
 Ein einfacher Kellerautomat ("pushdown automaton")
 
 Symbol   | (       | )     | \0
 ---------+---------+--------+-----------
 State 0  | PUSH 1  | ERROR  | ACCEPT
 State 1  | PUSH 1  | POP    | ERROR
*/
 
int states[2][ALPHABET*2] =
{
   {
      '(', 1 /* PUSH 1 */,
      ')', ERROR,
      '\0', ACCEPT
   },
   {
      '(', 1 /* PUSH 1 */,
      ')', POP,
      '\0', ERROR
   }
};
 
 
int main( int argc, char** argv )
{
   int stack[100] = { 0 };
   int i  = 0;
   int action  = 0;
   int* tos  = stack;
   char s  [MAX_LEN+1];
   char* p  = s;
 
   /* Eingabestring */
   printf("Bitte Ausdruck eingeben: ");
   fgets(s, sizeof(s), stdin);
   s[strlen(s)-1]='\0'; /* Newline von fgets durch binäre Null ersetzen */
 
 
   /* Start-state auf Stack pushen */
   *(tos++) = 0;
 
   /* Ausführungsschleife */
   do
   {
      /* Aktion auf Basis des Eingabesymbols ermitteln */
      action = ERROR;
      for( i = 0; i < ALPHABET; ++i )
      {
         if( states[*(tos-1)][i*2] == *p )
         {
            action = states[*(tos-1)][i*2+1];
            break;
         }
      }
 
      /* Ausführen der Aktionen */
      if( action == ERROR )
      {
         printf("Unerwartetes Zeichen an Position %d", p-s);
         break;
      }
      else if( action == ACCEPT )
         printf("Ausdruck akzeptiert!");
      else if( action == POP )
         --tos;
      else
         *(tos++) = action;
 
      /* Eingabe erweitern... */
      ++p;
   }
   while( action != ACCEPT );
 
   getchar();
   return 0;
}

Anwendungen in Technik und Wissenschaft

Die Gleitkommaeinheit (engl. Floating Point Unit, FPU) des in heutigen PCs verwendeten Prozessors (Intel 32-Bit x86-Architektur) ist ursprünglich als Kellerautomat (engl. Stack Machine) realisiert. Ihr Kellerspeicher besitzt eine Tiefe von 8 Speicherplätzen (für jeweils einen 80-Bit-Gleitkommawert). Aufgrund der Einschränkungen durch das Kellermodell ist tendenziell jedoch erkennbar, dass künftig auch im PC – wie in anderen Rechnerarchitekturen üblich – vorwiegend Verarbeitungseinheiten mit direkt adressierbaren Registern verwendet werden (SIMD-Erweiterung).

Compiler oder Interpreter von Programmiersprachen können mit Hilfe von Kellerautomaten entwickelt werden. Der Kellerautomat dient dabei der Syntaxanalyse, das heißt er überprüft die syntaktische Korrektheit einer Tokenfolge.

Siehe auch

• Umgekehrte Polnische Notation (Postfix-Notation)