Hasse-Diagramm

In der Mathematik ist ein Hasse-Diagramm eine bestimmte graphische Darstellung endlicher halbgeordneter Mengen. Solche Diagramme wurden 1967 von dem Mathematiker Helmut Hasse eingeführt.

Das Hasse-Diagramm für eine Halbordnung $(M, \leq)$ ist ein gerichteter Graph, wobei die Elemente von M die Knoten bilden. Zwei Knoten a und b werden durch eine Kante verbunden, wenn a < b gilt und es kein c gibt mit a < c < b. Die Richtung der Kante wird dadurch zum Ausdruck gebracht, dass sich der Knoten b oberhalb von a befindet. Solch eine Anordnung lässt sich erreichen, da das Hasse-Diagramm zyklenfrei ist. Schleifen bei Reflexivität werden weggelassen.

Manchmal werden Hasse-Diagramme auch verwendet, um Striktordnungen (Ordnungsrelationen zweiter Art) darzustellen.

Beispiele

Teilerverband

Die Teiler einer natürlichen Zahl lassen sich mittels eines Hasse-Diagramms darstellen, da sie bezüglich der Teilbarkeitsrelation eine halbgeordnete Menge („Teilerverband“) bilden. Das folgende Bild zeigt das Hasse-Diagramm der Teiler von 60.

Partitionen

Die Menge der Partitionen der Menge {1, 2, 3, 4} mit der "Feinheit" als Halbordnung.

Potenzmenge

Die 2ⁿ-elementige Potenzmenge einer n-elementigen Menge mit der Mengeninklusion lässt sich als Hasse-Diagramm darstellen. Dabei bilden die Elemente der Potenzmenge die Knoten und zwei Elemente sind durch eine Kante verbunden, wenn sie in einer Teilmengenrelation stehen. Die durch den untersten Knoten dargestellte leere Menge ist Teilmenge aller Elemente; das durch den obersten Knoten dargestellte Universum ist Obermenge aller Elemente.

Besonders übersichtlich und verbreitet ist die Anordnung der Mengen, die gleich viele Elemente enthalten, in derselben Ebene des Hasse-Diagramms - ebenso ist es üblich und empfehlenswert, die Mengen in den Ebenen von links nach rechts lexikographisch zu ordnen.

Ein kleines Beispiel für ein Hasse-Diagram einer Potenzmenge liefert die Menge {x,y,z}:

Ein etwas aufwändigeres Diagramm erhält man mit der sechzehnelementige Potenzmenge einer vierelementigen Menge, diese ist von besonderer Bedeutung für Aussagenlogik und Mengenlehre. Ihre in der beschriebenen Weise naheliegendste Darstellung ist die linke der drei Grafiken, die den rhombendodekaedrischen dreidimensionalen Schatten des vierdimensionalen Würfels zeigt. Die beiden anderen Grafiken rechts der rhombendodekaedrischen zeigen ebenfalls mögliche Hasse-Diagramme der Potenzmenge einer vierelementigen Menge, die für manche Zwecke besser geeignet sein können als die Schichtung nach der Anzahl der Elemente. Graphische Darstellungen, die für alle Zwecke gleichermaßen ideal sind, gibt es nicht. So müssen geeignete Hasse-Diagramme in der Auseinandersetzung mit einem bestimmten Thema oft erst gefunden werden.

Weblinks

• Hasse-Diagramme von Teilerverbänden (interaktiv, engl.)
• "Hasse Diagram" auf MathWorld (engl.)