Henselsches Lemma

Das henselsche Lemma (nach Kurt Hensel) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra.

Formulierung

Es sei K ein vollständiger, nicht-archimedisch bewerteter Körper mit Bewertungsring A und Restklassenkörper k. Ist nun $f\in A[X]$ ein Polynom, dessen Reduktion $\bar f\in k[X]$ das Produkt zweier teilerfremder Polynome $\bar g,\bar h\in k[X]$ ist, so gibt es Polynome $g,h\in A[X]$, so dass f = gh gilt und $\bar g$ bzw. $\bar h$ die Reduktion von g bzw. h ist.

Beispiele

• Das henselsche Lemma kann dazu benutzt werden, um zu zeigen, dass der Körper der p-adischen Zahlen die (p − 1)-ten Einheitswurzeln enthält:

Es sei $K=\mathbb Q_p$ der Körper der p-adischen Zahlen für eine Primzahl p, $A=\mathbb Z_p$, $k=\mathbb F_p$. Das Polynom f(X) = X^{p − 1} − 1 zerfällt über k in Linearfaktoren

$\bar f(X)=X^{p-1}-1=(X-1)(X-2)\cdots(X-(p-1)),\quad(\mathrm{in}\ \mathbb F_p[X])$

also gibt es Polynome $g_1,\ldots,g_{p-1}\in\mathbb Z_p[X]$, so dass

$f=g_1\cdots g_{p-1},\qquad g_i(X)\equiv X-i\mod p$

gilt. Die Polynome g_i haben notwendigerweise die Form g(X) = aX + b mit $a\in 1+p\mathbb Z_p$, man kann also a = 1 annehmen, d.h. es gibt $\zeta_1,\ldots,\zeta_{p-1}\in\mathbb Z_p$, so dass

$X^{p-1}-1=(X-\zeta_1)\cdots(X-\zeta_{p-1})\quad(\mathrm{in}\ \mathbb Z_p[X])$

gilt, d.h. $\zeta_1,\ldots,\zeta_{p-1}$ sind die (p − 1)-ten Einheitswurzeln.

• Es seien K,A,k wie oben, aber f(X) = X^p − 1. Dann ist $\bar f(X)=X^p-1=(X-1)^p$, es gibt also keine Zerlegung von $\bar f$ in teilerfremde Faktoren, das henselsche Lemma ist also nicht anwendbar.

Verwandte Begriffe

Die Voraussetzung, dass K vollständig ist, ist eigentlich zu stark. Allgemein nennt man bewertete Körper K bzw. Ringe A, in denen das henselsche Lemma in der oben angegebenen Form gilt, henselsch.

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1322960, ISBN 978-0-387-94268-1; 978-0-387-94269-8 .
• Atilla Pethö; Michael Pohst (Hrsg.): Algebraische Algorithmen. Vieweg, 1999, ISBN 9783528065980, S. 187.

• Michael Kaplan: Computeralgebra. Springer, 2005, ISBN 3540213791, S. 51.

• K. Hensel: Theorie der Algebraischen Zahlen. Teubner, Leipzig 1908.